特徵值的意義?

特徵值和特徵向量的幾何意義是什麼？

特徵向量的幾何意義

特徵向量確實有很明確的幾何意義，矩陣(既然討論特徵向量的問題，當然是方陣，這裡不討論廣義特徵向量的概念，就是一般的特徵向量)乘以一個向量的結果仍 是同維數的一個向量，因此，矩陣乘法對應了一個變換，把一個向量變成同維數的另一個向量，那麼變換的效果是什麼呢？這當然與方陣的構造有密切關係，比如可 以取適當的二維方陣，使得這個變換的效果就是將平面上的二維向量逆時針旋轉30度，這時我們可以問一個問題，有沒有向量在這個變換下不改變方向呢？可以想 一下，除了零向量，沒有其他向量可以在平面上旋轉30度而不改變方向的，所以這個變換對應的矩陣(或者說這個變換自身)沒有特徵向量(注意：特徵向量不能 是零向量)，所以一個變換的特徵向量是這樣一種向量，它經過這種特定的變換後保持方向不變，只是進行長度上的伸縮而已(再想想特徵向量的原始定義Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了嗎？cx是方陣A對向量x進行變換後的結果，但顯然cx和x的方向相同)，而且x是特徵向量的話，ax也是特徵向量(a是標 量且不為零)，所以所謂的特徵向量不是一個向量而是一個向量族， 另外，特徵值只不過反映了特徵向量在變換時的伸縮倍數而已，對一個變換而言，特徵向量指明的方向才是很重要的，特徵值不是那麼重要，雖然我們求這兩個量時 先求出特徵值，但特徵向量才是更本質的東西！

比如平面上的一個變換，把一個向量關於橫軸做鏡像對稱變換，即保持一個向量的橫座標不變，但縱座標取相反數，把這個變換表示為矩陣就是[1 0;0 -1]，其中分號表示換行，顯然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]',其中上標'表示取轉置，這正是我們想要的效果，那麼現在可以猜一下了，這個矩陣的特徵向量是什麼?想想什麼向量在這個變換下保持方向不變，顯 然，橫軸上的向量在這個變換下保持方向不變(記住這個變換是鏡像對稱變換，那鏡子表面上(橫軸上)的向量當然不會變化)，所以可以直接猜測其特徵向量是 [a 0]'(a不為0)，還有其他的嗎？有，那就是縱軸上的向量，這時經過變換後，其方向反向，但仍在同一條軸上，所以也被認為是方向沒有變化，所以[0 b]'(b不為0)也是其特徵向量，去求求矩陣[1 0;0 -1]的特徵向量就知道對不對了!

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矩陣的特徵值和特徵向量到底有什麼意義

恭喜。我之前學這塊時也覺得奇怪，覺得這簡直是無聊之人弄出來的無用的東西。但是現在想想不是這樣的。可以這麼用：給你一矩陣和一個普通的向量，要求用該矩陣變幻n次的座標。這時你必須藉助特徵向量。你高二吧，這些內容以後會講的。

特徵值的定義

設A為n階矩陣，若存在常數λ及n維非零向量x，使得Ax=λx，則稱λ是矩陣A的特徵值，x是A屬於特徵值λ的特徵向量。 A的所有特徵值的全體，叫做A的譜，記為. 如將特徵值的取值擴展到複數領域，則一個廣義特徵值有如下形式：Aν=λBν其中A和B為矩陣。其廣義特徵值（第二種意義）λ 可以通過求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）構成形如A-λB的矩陣的集合。其中特徵值中存在的複數項，稱為一個“叢(pencil)”。若B可逆，則原關係式可以寫作，也即標準的特徵值問題。當B為非可逆矩陣（無法進行逆變換）時，廣義特徵值問題應該以其原始表述來求解。如果A和B是實對稱矩陣，則特徵值為實數。這在上面的第二種等價關係式表述中並不明顯，因為A矩陣未必是對稱的。

矩陣的特徵值和特徵向量到底有什麼意義

按照矩形的方法計算，用於很多工程計算中

矩陣的特徵值和特徵向量到底有什麼意義

特徵值和特徵向量，是矩陣的一個很重要的屬性，是表徵和研究線性變換不變量的重要指標。

矩陣特徵值和特徵向量有什麼意義

特徵值 用來求 特徵向量,特徵向量 和 特徵值 可以確定矩陣AX=0的解的一組基.