高三數學必修四排列與組合知識點總結

　　排列與組合是數學中以基本計數原理作為基礎的兩類重要的計數問題，下面是小編給大家帶來的，希望對你有幫助。

　　高三數學排列與組合知識點總結***一***

　　排列組合公式/排列組合計算公式

　　排列P------和順序有關

　　組合C-------不牽涉到順序的問題

　　排列分順序，組合不分

　　例如把5本不同的書分給3個人，有幾種分法."排列"

　　把5本書分給3個人，有幾種分法"組合"

　　1.排列及計算公式

　　從n個不同元素中，任取m***m≤n***個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m***m≤n***個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號p***n，m***表示.

　　p***n，m***=n***n-1******n-2***……***n-m+1***=n!/***n-m***!***規定0!=1***.

　　2.組合及計算公式

　　從n個不同元素中，任取m***m≤n***個元素併成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m***m≤n***個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數.用符號

　　c***n，m***表示.

　　c***n，m***=p***n，m***/m!=n!/******n-m***!*m!***;c***n，m***=c***n，n-m***;

　　3.其他排列與組合公式

　　從n個元素中取出r個元素的迴圈排列數=p***n，r***/r=n!/r***n-r***!.

　　n個元素被分成k類，每類的個數分別是n1，n2，...nk這n個元素的全排列數為

　　n!/***n1!*n2!*...*nk!***.

　　k類元素，每類的個數無限，從中取出m個元素的組合數為c***m+k-1，m***.

　　排列***Pnm***n為下標，m為上標******

　　Pnm=n×***n-1***....***n-m+1***;Pnm=n!/***n-m***!***注：!是階乘符號***;Pnn***兩個n分別為上標和下標***=n!;0!=1;Pn1***n為下標1為上標***=n

　　組合***Cnm***n為下標，m為上標******

　　Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!***n-m***!;Cnn***兩個n分別為上標和下標***=1;Cn1***n為下標1為上標***=n;Cnm=Cnn-m

　　公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列。N-元素的總個數R參與選擇的元素個數!-階乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1

　　從N倒數r個，表示式應該為n****n-1*******n-2***..***n-r+1***;

　　因為從n到***n-r+1***個數為n-***n-r+1***=r

　　舉例：

　　Q1：有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數?

　　A1：123和213是兩個不同的排列數。即對排列順序有要求的，既屬於“排列P”計算範疇。

　　上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現988，997之類的組合，我們可以這麼看，百位數有9種可能，十位數則應該有9-1種可能，個位數則應該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個三位數。計算公式=P***3，9***=9*8*7，***從9倒數3個的乘積***

　　Q2：有從1到9共計9個號碼球，請問，如果三個一組，代表“三國聯盟”，可以組合成多少個“三國聯盟”?

　　A2：213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬於“組合C”計算範疇。

　　上問題中，將所有的包括排列數的個數去除掉屬於重複的個數即為最終組合數C***3，9***=9*8*7/3*2*1

　　排列、組合的概念和公式典型例題分析

　　例1設有3名學生和4個課外小組.***1***每名學生都只參加一個課外小組;***2***每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加.各有多少種不同方法?

　　解***1***由於每名學生都可以參加4個課外小組中的任何一個，而不限制每個課外小組的人數，因此共有種不同方法.

　　***2***由於每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加，因此共有種不同方法.

　　點評由於要讓3名學生逐個選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進行計算.

　　例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種?

　　解依題意，符合要求的排法可分為第一個排、、中的某一個，共3類，每一類中不同排法可採用畫“樹圖”的方式逐一排出：

　　∴符合題意的不同排法共有9種.

　　點評按照分“類”的思路，本題應用了加法原理.為把握不同排法的規律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計數問題的一種數學模型.

　　例3判斷下列問題是排列問題還是組合問題?並計算出結果.

　　***1***高三年級學生會有11人：①每兩人互通一封信，共通了多少封信?②每兩人互握了一次手，共握了多少次手?

　　***2***高二年級數學課外小組共10人：①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法?②從中選2名參加省數學競賽，有多少種不同的選法?

　　***3***有2，3，5，7，11，13，17，19八個質數：①從中任取兩個數求它們的商可以有多少種不同的商?②從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積?

　　***4***有8盆花：①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法?②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法?

　　分析***1***①由於每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關是排列;②由於每兩人互握一次手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關，所以是組合問題.其他類似分析.

　　***1***①是排列問題，共用了封信;②是組合問題，共需握手***次***.

　　***2***①是排列問題，共有***種***不同的選法;②是組合問題，共有種不同的選法.

　　***3***①是排列問題，共有種不同的商;②是組合問題，共有種不同的積.

　　***4***①是排列問題，共有種不同的選法;②是組合問題，共有種不同的選法.

　　例4證明.

　　證明左式

　　右式.

　　∴等式成立.

　　點評這是一個排列數等式的證明問題，選用階乘之商的形式，並利用階乘的性質，可使變形過程得以簡化.

　　例5化簡.

　　解法一原式

　　解法二原式

　　點評解法一選用了組合數公式的階乘形式，並利用階乘的性質;解法二選用了組合數的兩個性質，都使變形過程得以簡化.

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