高一必修一數學第一章知識點總結2

　　高一必修一數學：函式的有關概念

　　1.函式的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數fx和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函式.記作：y=fx，x∈A.其中，x叫做自變數，x的取值範圍A叫做函式的定義域;與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合{fx|x∈A}叫做函式的值域.

　　注意：2如果只給出解析式y=fx，而沒有指明它的定義域，則函式的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;3函式的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.

　　定義域補充

　　能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域，求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：1分式的分母不等於零;2偶次方根的被開方數不小於零;3對數式的真數必須大於零;4指數、對數式的底必須大於零且不等於1.5如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.6指數為零底不可以等於零6實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.

　　又注意：求出不等式組的解集即為函式的定義域。

　　構成函式的三要素：定義域、對應關係和值域

　　再注意：1構成函式三個要素是定義域、對應關係和值域.由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函式的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函式相等或為同一函式2兩個函式相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變數和函式值的字母無關。相同函式的判斷方法：①表示式相同;②定義域一致兩點必須同時具備

　　見課本21頁相關例2

　　值域補充

　　1、函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函式的值域都應先考慮其定義域.2.應熟悉掌握一次函式、二次函式、指數、對數函式及各三角函式的值域，它是求解複雜函式值域的基礎。

　　3.函式圖象知識歸納

　　1定義：在平面直角座標系中，以函式y=fx,x∈A中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點Px，y的集合C，叫做函式y=fx,x∈A的圖象.

　　C上每一點的座標x，y均滿足函式關係y=fx，反過來，以滿足y=fx的每一組有序實數對x、y為座標的點x，y，均在C上.即記為C={Px,y|y=fx,x∈A}

　　圖象C一般的是一條光滑的連續曲線或直線,也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多隻有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

　　2畫法

　　A、描點法：根據函式解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以x,y為座標在座標系內描出相應的點Px,y，最後用平滑的曲線將這些點連線起來.

　　B、圖象變換法請參考必修4三角函式

　　常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

　　3作用：

　　1、直觀的看出函式的性質;2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

　　發現解題中的錯誤。

　　4.快去了解區間的概念

　　1區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間;2無窮區間;3區間的數軸表示.

　　5.什麼叫做對映

　　一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個對映。記作“f：AB”

　　給定一個集合A到B的對映，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那麼，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

　　說明：函式是一種特殊的對映，對映是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關係一般是不同的;③對於對映f：A→B來說，則應滿足：Ⅰ集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，並且象是唯一的;Ⅱ集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個;Ⅲ不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　常用的函式表示法及各自的優點：

　　1函式圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函式圖象的依據;2解析法：必須註明函式的定義域;3圖象法：描點法作圖要注意：確定函式的定義域;化簡函式的解析式;觀察函式的特徵;4列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵.

　　注意啊：解析法：便於算出函式值。列表法：便於查出函式值。圖象法：便於量出函式值

　　補充一：分段函式參見課本P24-25

　　在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。在不同的範圍裡求函式值時必須把自變數代入相應的表示式。分段函式的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函式值幾種不同的表示式並用一個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況.1分段函式是一個函式，不要把它誤認為是幾個函式;2分段函式的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集.

　　補充二：複合函式

　　如果y=fu,u∈M,u=gx,x∈A,則y=f[gx]=Fx，x∈A稱為f、g的複合函式。

　　例如:y=2sinXy=2cosX2+1

　　7.函式單調性

　　1.增函式

　　設函式y=fx的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變數x1，x2，當x1

　　如果對於區間D上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1

　　注意：1函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質;

　　2必須是對於區間D內的任意兩個自變數x1，x2;當x1

　　2圖象的特點

　　如果函式y=fx在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式y=fx在這一區間上具有嚴格的單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上升的，減函式的圖象從左到右是下降的.

　　3.函式單調區間與單調性的判定方法

　　A定義法：

　　1任取x1，x2∈D，且x1

　　B圖象法從圖象上看升降_

　　C複合函式的單調性

　　複合函式f[gx]的單調性與構成它的函式u=gx，y=fu的單調性密切相關，其規律如下：

　　函式

　　單調性

　　u=gx

　　增

　　增

　　減

　　減

　　y=fu

　　增

　　減

　　增

　　減

　　y=f[gx]

　　增

　　減

　　減

　　增

　　注意：1、函式的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.2、還記得我們在選修裡學習簡單易行的導數法判定單調性嗎?

　　8.函式的奇偶性

　　1偶函式

　　一般地，對於函式fx的定義域內的任意一個x，都有f-x=fx，那麼fx就叫做偶函式.

　　2奇函式

　　一般地，對於函式fx的定義域內的任意一個x，都有f-x=—fx，那麼fx就叫做奇函式.

　　注意：1函式是奇函式或是偶函式稱為函式的奇偶性，函式的奇偶性是函式的整體性質;函式可能沒有奇偶性,也可能既是奇函式又是偶函式。

　　2由函式的奇偶性定義可知，函式具有奇偶性的一個必要條件是，對於定義域內的任意一個x，則-x也一定是定義域內的一個自變數即定義域關於原點對稱.

　　3具有奇偶性的函式的圖象的特徵

　　偶函式的圖象關於y軸對稱;奇函式的圖象關於原點對稱.

　　總結：利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟：1首先確定函式的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱;2確定f-x與fx的關係;3作出相應結論：若f-x=fx或f-x-fx=0，則fx是偶函式;若f-x=-fx或f-x+fx=0，則fx是奇函式.

　　注意啊：函式定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件.首先看函式的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函式是非奇非偶函式.若對稱，1再根據定義判定;2有時判定f-x=±fx比較困難，可考慮根據是否有f-x±fx=0或fx/f-x=±1來判定;3利用定理，或藉助函式的圖象判定.

　　9、函式的解析表示式

　　1.函式的解析式是函式的一種表示方法，要求兩個變數之間的函式關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函式的定義域.

　　2.求函式的解析式的主要方法有：待定係數法、換元法、消參法等，如果已知函式解析式的構造時，可用待定係數法;已知複合函式f[gx]的表示式時，可用換元法，這時要注意元的取值範圍;當已知表示式較簡單時，也可用湊配法;若已知抽象函式表示式，則常用解方程組消參的方法求出fx

　　10.函式最大小值定義見課本p36頁

　　1利用二次函式的性質配方法求函式的最大小值2利用圖象求函式的最大小值3利用函式單調性的判斷函式的最大小值：如果函式y=fx在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=fx在x=b處有最大值fb;如果函式y=fx在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=fx在x=b處有最小值fb;