試論幾個抽象函式問題

　　抽象函式是一種重要的數學概念.我們把沒有給出具體解析式，其一般形式為y=f***x***，且無法用數字和字母的函式稱為抽象函式.由於抽象函式的問題通常將函式的定義域、值域、單調性、奇偶性、週期性和影象集於一身.這類問題考查學生對數學符號語言的理解和接受能力、對一般和特殊關係的認識以及數學的綜合能力.

　　解決抽象函式的問題要求學生基礎知識紮實、抽象思維能力、綜合應用數學能力較高.所以近幾年來高考題中不斷出現，在2009年的全國各地高考試題中，抽象函式遍地開花.但學生在解決這類問題時常常感到束手無策、力不從心.下面通過例題全面探討抽象函式主要考查的內容及其解法.

　　一、抽象函式的定義域

　　例1已知函式f***x***的定義域為[1,3]，求出函式g***x***=f***x+a***+f***x-a*** ***a>0***的定義域.

　　解析：由由a>0 知只有當0

　　點評：1.已知f***x***的定義域為[a,b]，則f[g***x***]的定義域由a≤g***x***≤b，解出x即可得解;

　　2.已知f[g***x***]的定義域為[a,b]，則f***x***的定義域即是g***x***在x [a,b]上的值域.

　　二、抽象函式的值域

　　解決抽象函式的值域問題——由定義域與對應法則決定.

　　例2若函式y=f***x+1***的值域為[-1，1]求y=***3x+2***的值域.

　　解析：因為函式y=f***3x+2***中的定義域與對應法則與函式y=f***x+1***的定義域與對應法則 完全相同，故函式y=f***3x+2***的值域也為[-1，1].

　　三、抽象函式的奇偶性

　　例3若y=f***x***是偶函式,y= f***x-1***是奇函式，求 f***2007***=?

　　解析：因為y=f***x-1***是奇函式,所以y=f***-x-1***=-f***x-1***{為什麼?};因為 y=f***x***是偶函式，所以f***-x-1***=f***x+1***{為什麼?};因為f***x+1***=-f***x-1***, 所以f***x+2***=-f***x***,所以f***x+4***=f***x***;因為y=f***x-1***是奇函式,所以f***0***=0=f***-1***=f***2007***

　　四、抽象函式的對稱性

　　例4已知函式y=f***2x+1***是定義在R上的奇函式，函式y=g***x***的影象與函式y=f***x***的影象關於y=x對稱,則g***x***+ g***-x***的值為*** ***

　　A、 2 B、 0 C、 1 D、不能確定

　　解析：由y=f***2x+1***求得其反函式為y=[f ***x***-1]/2，∵ y=f***2x+1*** 是奇函式，

　　∴y=[f ***x***-1]/2也是奇函式，∴[f ***x***-1]/2+[f ***-x***-1]/2=0 ∴f ***x***+f ***-x***=2，而函式y=g***x***的影象與函式y=f***x***的影象關於y=x對稱，∴g***x***+ g***-x***= f ***x***+f ***-x***故選A .

　　五、抽象函式的週期性

　　例5、***2009全國卷Ⅰ理***函式的定義域為R，若f***x+1***與f***x-1***都是奇函式，則*** ***

　　***A*** f***x***是偶函式 ***B*** f***x***是奇函式

　　***C*** f***x***= f***x+2*** ***D*** f***x+3***是奇函式

　　解: ∵f***x+1***與f***x-1***都是奇函式，，

　　函式關於***-1,0***點，及點***1,0***對稱，函式是週期為4的周期函式.，所以f***x+3***= f***x-1***，即f***x+3***是奇函式.故選D

　　關於抽象函式的週期性有如下的幾個定理和性質，由於篇幅問題，推導就省略了.

　　定理1.若函式y=f ***x*** 定義域為R，且滿足條件f ***x+a***=f ***x-b***，則y=f ***x*** 是以T=a+b為週期的周期函式.

　　定理2.若函式y=f ***x*** 定義域為R，且滿足條件f ***x+a***= -f ***x-b***，則y=f ***x*** 是以T=2***a+b***為週期的周期函式.

　　定理3.若函式y=f ***x***的影象關於直線 x=a與 x=b ***a≠b***對稱，則y=f ***x*** 是以T=2***b-a***為週期的周期函式. 轉貼於 中國論文下載中

　　et 定理4.若函式y=f ***x***的影象關於點***a,0***與點***b,0*** , ***a≠b***對稱，則y=f ***x*** 是以 T=2***b-a***為週期的周期函式.

　　定理5.若函式y=f ***x***的影象關於直線 x=a與 點***b,0***,***a≠b***對稱，則y=f ***x*** 是以 T=4***b-a***為週期的周期函式.

　　性質1：若函式f***x***滿足f***a-x***=f***a+x***及f***b-x***=f***b+x*** ***a≠b,ab≠0***,則函式f***x***有周期2***a-b***;

　　性質2：若函式f***x***滿足f***a-x***= - f***a+x***及f***b-x***=- f***b+x***，***a≠b,ab≠0***,則函式有周期2***a-b***.

　　特別：若函式f***x***滿足f***a-x***=f***a+x*** ***a≠0***且f***x***是偶函式，則函式f***x***有周期2a.

　　性質3：若函式f***x***滿足f***a-x***=f***a+x***及f***b-x***= - f***b+x*** ***a≠b,ab≠0***， 則函式有周期4***a-b***.

　　特別：若函式f***x***滿足f***a-x***=f***a+x*** ***a≠0***且f***x***是奇函式，則函式f***x***有周期4a.

　　從以上例題可以發現，抽象函式的考查範圍很廣，能力要求較高.但只要對函式的基本性質熟，掌握上述有關的結論和型別題相應的解法，則會得心應手.