公務員考試行測數量關係萬能解法之植樹問題
General 更新 2024年05月13日
植樹問題是近年來國考和各種地方考試中經常會涉及到的一個知識點，這類問題題目形式變化不大，解法比較固定，只要掌握好方法這類問題毫無難度可言。下面就這一問題的解法做詳細解析。
為使其更直觀，我們用圖示法來說明。樹用點來表示，植樹的路線用線來表示，這樣就把植樹問題轉化為一條非封閉或封閉的線上的“點數”與相鄰兩點間的線的段數之間的關係問題。
總結歷年真題，可以將植樹問題歸納為下面四種情形：
一、非封閉線的兩端都有“點”時，“點數”＝“段數”＋1＝總長/間隔＋1。
常見題型如：一條河堤長420米，從頭到尾每隔3米栽一棵樹，要栽多少棵樹？
二、非封閉線只有一端有“點”時，“點數”＝“段數”。
常見題型如：財院東門至文勞路的小路，長700米。要在小路一旁每隔2米栽一棵樹，一共要栽多少棵樹？
常見題型如：兩座樓房之間相距30米，每隔2米栽一棵樹，需要種多少棵樹？
四、封閉線上，“點數”＝“段數”。
常見題型如：一個圓形水池的周長60米。如果在此水池邊沿每隔3米放一盆花，那麼一共能放多少盆花？
植樹問題在現實生活中很常見，許多應用題都可以藉助或歸結為上述植樹問題求解。
例1：在一條公路的兩邊植樹，每隔3米種一棵樹，從公路的東頭種到西頭還剩5棵樹苗，如果改為每隔2.5米種一棵，還缺樹苗115棵，則這條公路長多少米？（ ）
A．700 B．800 C．900 D．600
【答案：C】 解析：線型植樹問題，這裡需要注意的是公路兩邊都要種樹。故總棵數＝每邊棵數×2。假設公路的長度為x米，則由題意可列方程：，解得x＝900，故選C。
例2：一個四邊形廣場，它的四邊長分別是60米、72米、84米和96米，現在要在四邊上植樹，四角需種樹，而且每兩棵樹的間隔相等，那麼至少要種多少棵樹？
A. 22 B. 25 C. 26 D. 30
——『2009年江西省公務員錄用考試』
【答案：C】 解析此題的關鍵點是“四角需種樹”，欲使四個角都要種樹，即是要求出60、72、84和96的最大公約數，為12，然後就是環形植樹問題了，套用上面的第四種情況，所求棵數為：（60＋72＋84＋96）/12＝26。
例3：為了把2008年北京奧運辦成綠色奧運，全國各地都在加強環保，植樹造林。某單位計劃在通往兩個比賽場館的兩條路的（不相交）兩旁栽上樹，現運回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗（ ）。
——『2006年中央、國家機關公務員錄用考試』
A．8500棵 B．12500棵 C．12596棵 D．13000棵
【答案：D】 解析：設兩條路共長x米，共有樹苗y棵，則x÷4＋4＝y＋2754，x÷5＋4＝y－396，
解出y＝13000（棵）。這裡需要注意的是題目要求是在兩條路上植樹，每條路有兩個邊，故總棵數＝段數＋4。
例4：—人上樓，邊走邊數臺階。從一樓走到四樓，共走了54級臺階。如果每層樓之間的臺階數相同，他一直要走到八樓，問他從一樓到八樓一共要走多少級臺階？（ ）
A．126 B．120 C．114 D．108
——『2007年江西省公務員錄用考試』
【答案：A】 解析：這是一道植樹類問題的變形。需要注意的是從一樓到四樓實際上走的是三個樓層，每個樓層有臺階數54÷3＝18（個），那麼從一樓到八樓的臺階數就是：18×7＝126（個）。
植樹問題在現實生活中很常見，許多應用題都可以藉助或歸結為上述植樹問題求解。
1. 在一段路邊每隔50米埋設一根廣告牌，包括這段路兩端埋設的廣告牌，共埋設了10根。這段路長多少米？
解：這是第（1）種情形，所以，“段數”＝10－1＝9。這段路長為50×（10－1）＝450（米）。
2. 小王要到高層建築的11層，他走到5層用了100秒，照此速度計算，他還需走多少秒？
解：因為1層不用走樓梯，走到5層走了4段樓梯，由此可求出走每段樓梯用100÷（5－1）＝25（秒）。走到11層要走10段樓梯，還要走6段樓梯，所以還需25×6＝150（秒）。
3. 一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊共30輛，每輛車長4米，前後每輛車相隔5米。這列車隊共排列了多長？如果車隊每秒行駛2米，那麼這列車隊要通過535米長的檢閱場地，需要多少時間？
解：車隊間隔共有30－1＝29（個），每個間隔5米，所以，間隔的總長為（30－1）×5＝145（米），
而車身的總長為30×4＝120（米），故這列車隊的總長為：（30－1）×5+30×4＝265（米）。
由於車隊要行265＋535＝800（米），且每秒行2米，
所以，車隊通過檢閱場地需要（265＋535）÷2＝400（秒）＝6分40秒。
4. 下圖是五個大小相同的鐵環連在一起的圖形。它的長度是多少？十個這樣的鐵環連在一起有多長？
解：如上圖所示。關鍵是求出重疊的“環扣”數（每個長6毫米）。根據植樹問題的第（3）種情形知，五個連在一起的“環扣”數為5－1＝4（個），所以重疊部分的長為6×（5－1）＝24（毫米），
又4釐米＝40毫米，所以五個鐵環連在一起長：40×5－6×（5－1）＝176（毫米）。
同理，十個鐵環連在一起的長度為：40×10－6×（10－1）＝346（毫米）。
5. 甲乙兩人一起攀登一個有300個臺階的山坡，甲每步上3個臺階，乙每步上2個臺階。從起點處開始，甲乙走完這段路共踏了多少個臺階？（重複踏的臺階只算一個）。
解：因為兩端的臺階只有頂的臺階被踏過，根據已知條件，乙踏過的臺階數為300÷2＝150（個），
甲踏過的臺階數為300÷3＝100（個）。
由於2×3＝6，所以甲乙兩人每6個臺階要共同踏一個臺階，共重複踏了300÷6＝50（個）。所以甲乙兩人共踏了臺階150＋100－50＝200（個）。
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為使其更直觀，我們用圖示法來說明。樹用點來表示，植樹的路線用線來表示，這樣就把植樹問題轉化為一條非封閉或封閉的線上的“點數”與相鄰兩點間的線的段數之間的關係問題。
總結歷年真題，可以將植樹問題歸納為下面四種情形：
一、非封閉線的兩端都有“點”時，“點數”＝“段數”＋1＝總長/間隔＋1。
常見題型如：一條河堤長420米，從頭到尾每隔3米栽一棵樹，要栽多少棵樹？
二、非封閉線只有一端有“點”時，“點數”＝“段數”。
常見題型如：財院東門至文勞路的小路，長700米。要在小路一旁每隔2米栽一棵樹，一共要栽多少棵樹？
常見題型如：兩座樓房之間相距30米，每隔2米栽一棵樹，需要種多少棵樹？
四、封閉線上，“點數”＝“段數”。
常見題型如：一個圓形水池的周長60米。如果在此水池邊沿每隔3米放一盆花，那麼一共能放多少盆花？
植樹問題在現實生活中很常見，許多應用題都可以藉助或歸結為上述植樹問題求解。
例1：在一條公路的兩邊植樹，每隔3米種一棵樹，從公路的東頭種到西頭還剩5棵樹苗，如果改為每隔2.5米種一棵，還缺樹苗115棵，則這條公路長多少米？（ ）
A．700 B．800 C．900 D．600
【答案：C】 解析：線型植樹問題，這裡需要注意的是公路兩邊都要種樹。故總棵數＝每邊棵數×2。假設公路的長度為x米，則由題意可列方程：，解得x＝900，故選C。
例2：一個四邊形廣場，它的四邊長分別是60米、72米、84米和96米，現在要在四邊上植樹，四角需種樹，而且每兩棵樹的間隔相等，那麼至少要種多少棵樹？
A. 22 B. 25 C. 26 D. 30
——『2009年江西省公務員錄用考試』
【答案：C】 解析此題的關鍵點是“四角需種樹”，欲使四個角都要種樹，即是要求出60、72、84和96的最大公約數，為12，然後就是環形植樹問題了，套用上面的第四種情況，所求棵數為：（60＋72＋84＋96）/12＝26。
例3：為了把2008年北京奧運辦成綠色奧運，全國各地都在加強環保，植樹造林。某單位計劃在通往兩個比賽場館的兩條路的（不相交）兩旁栽上樹，現運回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗（ ）。
——『2006年中央、國家機關公務員錄用考試』
A．8500棵 B．12500棵 C．12596棵 D．13000棵
【答案：D】 解析：設兩條路共長x米，共有樹苗y棵，則x÷4＋4＝y＋2754，x÷5＋4＝y－396，
解出y＝13000（棵）。這裡需要注意的是題目要求是在兩條路上植樹，每條路有兩個邊，故總棵數＝段數＋4。
例4：—人上樓，邊走邊數臺階。從一樓走到四樓，共走了54級臺階。如果每層樓之間的臺階數相同，他一直要走到八樓，問他從一樓到八樓一共要走多少級臺階？（ ）
A．126 B．120 C．114 D．108
——『2007年江西省公務員錄用考試』
【答案：A】 解析：這是一道植樹類問題的變形。需要注意的是從一樓到四樓實際上走的是三個樓層，每個樓層有臺階數54÷3＝18（個），那麼從一樓到八樓的臺階數就是：18×7＝126（個）。
植樹問題在現實生活中很常見，許多應用題都可以藉助或歸結為上述植樹問題求解。
1. 在一段路邊每隔50米埋設一根廣告牌，包括這段路兩端埋設的廣告牌，共埋設了10根。這段路長多少米？
解：這是第（1）種情形，所以，“段數”＝10－1＝9。這段路長為50×（10－1）＝450（米）。
2. 小王要到高層建築的11層，他走到5層用了100秒，照此速度計算，他還需走多少秒？
解：因為1層不用走樓梯，走到5層走了4段樓梯，由此可求出走每段樓梯用100÷（5－1）＝25（秒）。走到11層要走10段樓梯，還要走6段樓梯，所以還需25×6＝150（秒）。
3. 一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊共30輛，每輛車長4米，前後每輛車相隔5米。這列車隊共排列了多長？如果車隊每秒行駛2米，那麼這列車隊要通過535米長的檢閱場地，需要多少時間？
解：車隊間隔共有30－1＝29（個），每個間隔5米，所以，間隔的總長為（30－1）×5＝145（米），
而車身的總長為30×4＝120（米），故這列車隊的總長為：（30－1）×5+30×4＝265（米）。
由於車隊要行265＋535＝800（米），且每秒行2米，
所以，車隊通過檢閱場地需要（265＋535）÷2＝400（秒）＝6分40秒。
4. 下圖是五個大小相同的鐵環連在一起的圖形。它的長度是多少？十個這樣的鐵環連在一起有多長？
解：如上圖所示。關鍵是求出重疊的“環扣”數（每個長6毫米）。根據植樹問題的第（3）種情形知，五個連在一起的“環扣”數為5－1＝4（個），所以重疊部分的長為6×（5－1）＝24（毫米），
又4釐米＝40毫米，所以五個鐵環連在一起長：40×5－6×（5－1）＝176（毫米）。
同理，十個鐵環連在一起的長度為：40×10－6×（10－1）＝346（毫米）。
5. 甲乙兩人一起攀登一個有300個臺階的山坡，甲每步上3個臺階，乙每步上2個臺階。從起點處開始，甲乙走完這段路共踏了多少個臺階？（重複踏的臺階只算一個）。
解：因為兩端的臺階只有頂的臺階被踏過，根據已知條件，乙踏過的臺階數為300÷2＝150（個），
甲踏過的臺階數為300÷3＝100（個）。
由於2×3＝6，所以甲乙兩人每6個臺階要共同踏一個臺階，共重複踏了300÷6＝50（個）。所以甲乙兩人共踏了臺階150＋100－50＝200（個）。
公務員行測數學運算試題及答案