人教版八年級下冊數學期末試題
數學期末考試與八年級學生的學習是息息相關的。小編整理了關於，希望對大家有幫助!
八年級下冊數學期末試題
一.細心選一選：***本大題12個小題，每小題4分，共48分***在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將正確答案的代號填在表格中.
1.在分式中，x的取值範圍是*** ***
A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1
2.在以下回收、綠色食品、節能、節水四個標誌中，是軸對稱圖形的是*** ***
A. B. C. D.
3.已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根，則α+β的值是*** ***
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
4.如圖，反比例函式y=的圖象過點A，過點A分別向x軸和y軸作垂線，垂足為B和C.若矩形ABOC的面積為2，則k的值為*** ***
A. 4 B. 2 C. 1 D.
5.如圖所示，▱ABCD中，對角線AC，BD交於點O，E是CD中點，連線OE，若OE=3cm，則AD的長為*** ***
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
6.方程x2+6x﹣5=0的左邊配成完全平方後所得方程為*** ***
A. ***x+3***2=14 B. ***x﹣3***2=14 C. D. ***x+3***2=4
7.一個多邊形的每個內角都是108°，那麼這個多邊形是*** ***
A. 五邊形 B. 六邊形 C. 七邊形 D. 八邊形
8.分式方程的解是*** ***
A. x=﹣5 B. x=5 C. x=﹣3 D. x=3
9.如圖，菱形ABCD中，已知∠D=110°，則∠BAC的度數為*** ***
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
10.若關於x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有兩個不相等的實數根，則k的取值範圍*** ***
A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1
11.下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規律組成，其中，第***1***個圖形中面積為1的正方形有9個，第***2***個圖形中面積為1的正方形有14個，…，按此規律.則第***10***個圖形中面積為1的正方形的個數為*** ***
A. 72 B. 64 C. 54 D. 50
12.已知四邊形OABC是矩形，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，雙曲線與邊BC交於點D、與對角線OB交於點中點E，若△OBD的面積為10，則k的值是*** ***
A. 10 B. 5 C. D.
二、耐心填一填***本大題共6個小題，每小題4分，共24分***請將每小題的正確答案填入下面的表格中.
13.分解因式：2m2﹣2= .
14.若分式的值為零，則x= .
15.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交於點O，AB=4，∠AOD=120°，則對角線AC的長度為 .
16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一個根，則m的值是 .
17.由於天氣炎熱，某校根據《學校衛生工作條例》，為預防“蚊蟲叮咬”，對教室進行“薰藥消毒”.已知藥物在燃燒機釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量y***毫克***與燃燒時間x***分鐘***之間的關係如圖所示***即圖中線段OA和雙曲線在A點及其右側的部分***，當空氣中每立方米的含藥量低於2毫克時，對人體無毒害作用，那麼從消毒開始，至少在 分鐘內，師生不能呆在教室.
18.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，將∠BAD繞著點A順時針旋轉α°***0<α<45***，得到∠B′AD′，其中過點B作與對角線BD垂直的直線交射線AB′於點E，射線AD′與對角線BD交於點F，連線CF，並延長交AD於點M，當滿足S四邊形AEBF=S△CDM時，線段BE的長度為 .
三.解答題***本大題共4個小題，19題10分，20題8分，21題8分，22題8分，共34分***解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
19.解方程：
***1***x2﹣6x﹣2=0
***2***=+1.
20.如圖，在▱ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD於點E，∠CDB的平分線DF交BC於點F，連線BD.
***1***求證：△ABE≌△CDF;
***2***若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形.
21.如圖，一次函式y=kx+b***k≠0***的圖象過點P***﹣，0***，且與反比例函式y=***m≠0***的圖象相交於點A***﹣2，1***和點B.
***1***求一次函式和反比例函式的解析式;
***2***求點B的座標，並根據圖象回答：當x在什麼範圍內取值時，一次函式的函式值小於反比例函式的函式值?
22.童裝店在服裝銷售中發現：進貨價每件60元，銷售價每件100元的某童裝平均每天可售出20件.為了迎接“六一”，童裝店決定採取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利.經調查發現：如果每件童裝降價1元，那麼平均每天就可多售出2件，
***1***降價前，童裝店每天的利潤是多少元?
***2***如果童裝店每要每天銷售這種童裝盈利1200元，同時又要使顧客得到更多的實惠，那麼每件童裝應降價多少元?
四、解答題***本大題共2個小題，每小題10分，共20分***解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
23.先化簡，再求值：***﹣***÷***﹣1***，其中a是方程a2﹣4a+2=0的解.
24.在平面直角座標系xOy中，對於任意兩點P1***x1，y1***與P2***x2，y2***的“非常距離”，給出如下定義：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|y1﹣y2|.
例如：點P1***1，2***，點P1***3，5***，因為|1﹣3|<|2﹣5|，所以點P1與點P2的“非常距離”為|2﹣5|=3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值***點Q為垂直於y軸的直線P1Q與垂直於x軸的直線P2Q的交點***.
***1***已知點A***﹣***，B為y軸上的一個動點，①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出滿足條件的點B的座標;②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值;
***2***如圖2，已知C是直線上的一個動點，點D的座標是***0，1***，求點C與點D的“非常距離”最小時，相應的點C的座標.
五.解答題***本大題共2個小題，25題12分，26題12分，共24分***解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
25.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上任意一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連線BE、EF.
***1***如圖1，當E是線段AC的中點，且AB=2時，求△ABC的面積;
***2***如圖2，當點E不是線段AC的中點時，求證：BE=EF;
***3***如圖3，當點E是線段AC延長線上的任意一點時，***2***中的結論是否成立?若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由.
26.如圖，已知點A是直線y=2x+1與反比例函式y=***x>0***圖象的交點，且點A的橫座標為1.
***1***求k的值;
***2***如圖1，雙曲線y=***x>0***上一點M，若S△AOM=4，求點M的座標;
***3***如圖2所示，若已知反比例函式y=***x>0***圖象上一點B***3，1***，點P是直線y=x上一動點，點Q是反比例函式y=***x>0***圖象上另一點，是否存在以P、A、B、Q為頂點的平行四邊形?若存在，請直接寫出點Q的座標;若不存在，請說明理由.
參考答案
一.細心選一選：***本大題12個小題，每小題4分，共48分***在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將正確答案的代號填在表格中.
1.在分式中，x的取值範圍是*** ***
A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1
考點： 分式有意義的條件.
分析： 根據分式有意義，分母不等於0列式計算即可得解.
解答： 解：由題意得，x﹣1≠0，
解得x≠1.
故選A.
點評： 本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：
***1***分式無意義⇔分母為零;
***2***分式有意義⇔分母不為零;
***3***分式值為零⇔分子為零且分母不為零.
2.在以下回收、綠色食品、節能、節水四個標誌中，是軸對稱圖形的是*** ***
A. B. C. D.
考點： 軸對稱圖形.
分析： 根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷利用排除法求解.
解答： 解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤;
B、是軸對稱圖形，故本選項正確;
C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤;
D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤.
故選;B.
點評： 本題考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分摺疊後可重合.
3.已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根，則α+β的值是*** ***
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
考點： 根與係數的關係.
分析： 根據根與係數的關係得到α+β=﹣=2，即可得出答案.
解答： 解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根，
∴α+β=﹣=2;
故選A.
點評： 本題考查了根與係數的關係：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0***a≠0***的兩根時，x1+x2=﹣，x1x2=.
4.如圖，反比例函式y=的圖象過點A，過點A分別向x軸和y軸作垂線，垂足為B和C.若矩形ABOC的面積為2，則k的值為*** ***
A. 4 B. 2 C. 1 D.
考點： 反比例函式係數k的幾何意義.
分析： 設點A的座標為***x，y***，用x、y表示OB、AB的長，根據矩形ABOC的面積為2，列出算式求出k的值.
解答： 解：設點A的座標為***x，y***，
則OB=x，AB=y，
∵矩形ABOC的面積為2，
∴k=xy=2，
故選：B.
點評： 本題考查反比例函式係數k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條座標軸作垂線，與座標軸圍成的矩形面積就等於|k|.
5.如圖所示，▱ABCD中，對角線AC，BD交於點O，E是CD中點，連線OE，若OE=3cm，則AD的長為*** ***
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
考點： 三角形中位線定理;平行四邊形的性質.
分析： 由平行四邊形的性質，易證OE是中位線，根據中位線定理求解.
解答： 解：根據平行四邊形基本性質：平行四邊形的對角線互相平分.可知點O是BD中點，所以OE是△BCD的中位線.
根據中位線定理可知AD=2OE=2×3=6***cm***.
故選B.
點評： 主要考查了平行四邊形的基本性質和中位線性質，並利用性質解題.平行四邊形基本性質：①平行四邊形兩組對邊分別平行;②平行四邊形的兩組對邊分別相等;③平行四邊形的兩組對角分別相等;④平行四邊形的對角線互相平分.
6.方程x2+6x﹣5=0的左邊配成完全平方後所得方程為*** ***
A. ***x+3***2=14 B. ***x﹣3***2=14 C. D. ***x+3***2=4
考點： 解一元二次方程-配方法.
專題： 配方法.
分析： 配方法的一般步驟：
***1***把常數項移到等號的右邊;
***2***把二次項的係數化為1;
***3***等式兩邊同時加上一次項係數一半的平方.
解答： 解：由原方程移項，得
x2+6x=5，
等式兩邊同時加上一次項係數一半的平方，即32，得
x2+6x+9=5+9，
∴***x+3***2=14.
故選A.
點評： 此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用.選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的係數為1，一次項的係數是2的倍數.
7.一個多邊形的每個內角都是108°，那麼這個多邊形是*** ***
A. 五邊形 B. 六邊形 C. 七邊形 D. 八邊形
考點： 多邊形內角與外角.
分析： 利用多邊形的內角和=180***n﹣2***可得.
解答： 解：108=180***n﹣2***÷n
解得n=5.
故選A.
點評： 本題主要考查了多邊形的內角和定理.
8.分式方程的解是*** ***
A. x=﹣5 B. x=5 C. x=﹣3 D. x=3
考點： 解分式方程.
專題： 計算題.
分析： 觀察可得最簡公分母是***x+1******x﹣1***，方程兩邊乘以最簡公分母，可以把分式方程化為整式方程，再求解.
解答： 解：方程兩邊同乘以***x+1******x﹣1***，
得3***x+1***=2***x﹣1***，
解得x=﹣5.
經檢驗：x=﹣5是原方程的解.
故選A.
點評： ***1***解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解.
***2***解分式方程一定注意要驗根.
9.如圖，菱形ABCD中，已知∠D=110°，則∠BAC的度數為*** ***
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
考點： 菱形的性質.
專題： 計算題.
分析： 先根據菱形的對邊平行和直線平行的性質得到∠BAD=70°，然後根據菱形的每一條對角線平分一組對角求解.
解答： 解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥AB，
∴∠BAD=180°﹣∠D=180°﹣110°=70°，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠BAD=35°.
故選B.
點評： 本題考查了菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質;菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角;菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.
10.若關於x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有兩個不相等的實數根，則k的取值範圍*** ***
A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1
考點： 根的判別式;一元二次方程的定義.
專題： 計算題.
分析： 根據根的判別式和一元二次方程的定義，令△>0且二次項係數不為0即可.
解答： 解：∵關於x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有兩個不相等的實數根，
∴△>0，
即***﹣6***2﹣4×9k>0，
解得，k<1，
∵為一元二次方程，
∴k≠0，
∴k<1且k≠0.
故選A.
點評： 本題考查了根的判別式和一元二次方程的定義，要知道：***1***△>0⇔方程有兩個不相等的實數根;
***2***△=0⇔方程有兩個相等的實數根;***3***△<0⇔方程沒有實數根.
11.下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規律組成，其中，第***1***個圖形中面積為1的正方形有9個，第***2***個圖形中面積為1的正方形有14個，…，按此規律.則第***10***個圖形中面積為1的正方形的個數為*** ***
A. 72 B. 64 C. 54 D. 50
考點： 規律型：圖形的變化類.
分析： 由第1個圖形有9個邊長為1的小正方形，第2個圖形有9+5=14個邊長為1的小正方形，第3個圖形有9+5×2=19個邊長為1的小正方形，…由此得出第n個圖形有9+5×***n﹣1***=5n+4個邊長為1的小正方形，由此求得答案即可.
解答： 解：第1個圖形邊長為1的小正方形有9個，
第2個圖形邊長為1的小正方形有9+5=14個，
第3個圖形邊長為1的小正方形有9+5×2=19個，
…
第n個圖形邊長為1的小正方形有9+5×***n﹣1***=5n+4個，
所以第10個圖形中邊長為1的小正方形的個數為5×10+4=54個.
故選：C.
點評： 此題考查圖形的變化規律，找出圖形與數字之間的運算規律，利用規律解決問題.
12.已知四邊形OABC是矩形，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，雙曲線與邊BC交於點D、與對角線OB交於點中點E，若△OBD的面積為10，則k的值是*** ***
A. 10 B. 5 C. D.
考點： 反比例函式係數k的幾何意義.
分析： 設雙曲線的解析式為：y=，E點的座標是***x，y***，根據E是OB的中點，得到B點的座標，求出點E的座標，根據三角形的面積公式求出k.
解答： 解：設雙曲線的解析式為：y=，E點的座標是***x，y***，
∵E是OB的中點，
∴B點的座標是***2x，2y***，
則D點的座標是***，2y***，
∵△OBD的面積為10，
∴×***2x﹣***×2y=10，
解得，k=，
故選：D.
點評： 本題考查反比例係數k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條座標作垂線，與座標軸圍成的矩形面積就等於|k|.
二、耐心填一填***本大題共6個小題，每小題4分，共24分***請將每小題的正確答案填入下面的表格中.
13.分解因式：2m2﹣2= 2***m+1******m﹣1*** .
考點： 提公因式法與公式法的綜合運用.
專題： 壓軸題.
分析： 先提取公因式2，再對剩餘的多項式利用平方差公式繼續分解因式.
解答： 解：2m2﹣2，
=2***m2﹣1***，
=2***m+1******m﹣1***.
故答案為：2***m+1******m﹣1***.
點評： 本題考查了提公因式法，公式法分解因式，關鍵在於提取公因式後繼續利用平方差公式進行二次因式分解.
14.若分式的值為零，則x= ﹣3 .
考點： 分式的值為零的條件.
專題： 計算題.
分析： 分式的值為零，分子等於0，分母不為0.
解答： 解：根據題意，得
|x|﹣3=0且x﹣3≠0，
解得，x=﹣3.
故答案是：﹣3.
點評： 本題考查了分式的值為0的條件.若分式的值為零，需同時具備兩個條件：***1***分子為0;***2***分母不為0.這兩個條件缺一不可.
15.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交於點O，AB=4，∠AOD=120°，則對角線AC的長度為 8 .
考點： 矩形的性質;含30度角的直角三角形.
分析： 由矩形的性質得出OA=OB，再證明△AOB是等邊三角形，得出OA=OB=AB=4，得出AC=2OA即可.
解答： 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA=OB=AB=4，
∴AC=2OA=8;
故答案為：8.
點評： 本題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質;熟練掌握矩形的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵.
16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一個根，則m的值是 ﹣3 .
考點： 一元二次方程的解.
分析： 將x=2代入方程即可得到一個關於m的方程，解方程即可求出m值.
解答： 解：把x=2代入方程可得：4+2m+2=0，
解得m=﹣3.
故答案為﹣3.
點評： 本題主要考查了方程的解的定義，把求未知係數的問題轉化為方程求解的問題.
17.由於天氣炎熱，某校根據《學校衛生工作條例》，為預防“蚊蟲叮咬”，對教室進行“薰藥消毒”.已知藥物在燃燒機釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量y***毫克***與燃燒時間x***分鐘***之間的關係如圖所示***即圖中線段OA和雙曲線在A點及其右側的部分***，當空氣中每立方米的含藥量低於2毫克時，對人體無毒害作用，那麼從消毒開始，至少在 75 分鐘內，師生不能呆在教室.
考點： 反比例函式的應用.
分析： 首先根據題意，藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y***毫克***與時間x***分鐘***成正比例;藥物釋放完畢後，y與x成反比例，將資料代入用待定係數法可得反比例函式的關係式;進一步求解可得答案.
解答： 解：設反比例函式解析式為y=***k≠0***，
將***25，6***代入解析式得，k=25×6=150，
則函式解析式為y=***x≥15***，
當y=2時，=2，
解得x=75.
答：從消毒開始，師生至少在75分鐘內不能進入教室.
點評： 本題考查了反比例函式的應用，現實生活中存在大量成反比例函式的兩個變數，解答該類問題的關鍵是確定兩個變數之間的函式關係，然後利用待定係數法求出它們的關係式.
18.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，將∠BAD繞著點A順時針旋轉α°***0<α<45***，得到∠B′AD′，其中過點B作與對角線BD垂直的直線交射線AB′於點E，射線AD′與對角線BD交於點F，連線CF，並延長交AD於點M，當滿足S四邊形AEBF=S△CDM時，線段BE的長度為 2﹣2 .
考點： 旋轉的性質;正方形的性質.
分析： 先根據旋轉的性質得∠EAB=∠FAD=α，再根據正方形的性質得AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，則利用BE⊥BD得∠EBA=∠FDA=45°，於是可根據“ASA”判定△ABE≌△ADF，得到S△ABE=S△ADF，所以S四邊形AEBF=S△ABD=4，則S△CDM=2，利用三角形面積公式可計算出DM=2，延長AB到M′使BM′=DM=2，如圖，接著根據勾股定理計算出CM=2，再通過證明△BCM≌△DCM得到CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，然後證∠M′NC=∠M′CN得到M′N=M′C=2，則BN=M′C﹣BM′=2﹣2.
解答： 解：∵∠BAD繞著點A順時針旋轉α°***0<α<45°***，得到∠B′AD′，
∴∠EAB=∠FAD=α，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∵BE⊥BD，
∴∠EBD=90°，
∴∠EBA=45°，
∴∠EBA=∠FDA，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF***ASA***，
∴S△ABE=S△ADF，
∴S四邊形AEBF=S△ABE+S△ABF=S△ADF+S△ABF=S△ABD=×2×2=4，
∵S四邊形AEBF=S△CDM，
∴S△CDM==2，
∴DM•2=2，解得DM=2，
延長AB到M′使BM′=DM=2，如圖，
在Rt△CDM中，CM==2，
在△BCM′和△DCM中
，
∴△BCM≌△DCM***SAS***，
∴CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠M′NC=∠DCN=∠DCM+∠NCM=∠BCM′+∠NCM，
而NC平分∠BCM，
∴∠NCM=∠BCN，
∴∠M′NC=∠BCM′+∠BCN=∠M′CN，
∴M′N=M′C=2，
∴BN=M′C﹣BM′=2﹣2.
故答案為：2﹣2.
點評： 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角;旋轉前、後的圖形全等.也考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質.
三.解答題***本大題共4個小題，19題10分，20題8分，21題8分，22題8分，共34分***解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
19.解方程：
***1***x2﹣6x﹣2=0
***2***=+1.
考點： 解一元二次方程-配方法;解分式方程.
分析： ***1***移項，配方，再開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可;
***2***先把分式方程轉化成整式方程，求出方程的解，再進行檢驗即可.
解答： 解：***1***x2﹣6x﹣2=0，
x2﹣6x=2，
x2﹣6x+9=2+9，
***x﹣3***2=11，
x﹣3=，
x1=3+，x2=3﹣;
***2***方程兩邊都乘以x﹣2得：1﹣x=﹣1+x﹣2，
解這個方程得：x=2，
檢驗：當x=2時，x﹣2=0，
所以x=2不是原方程的解，
所以原方程無解.
點評： 本題考查瞭解一元二次方程，解分式方程的應用，解***1***小題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程，解分式方程的關鍵是能把分式方程轉化成整式方程.
20.如圖，在▱ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD於點E，∠CDB的平分線DF交BC於點F，連線BD.
***1***求證：△ABE≌△CDF;
***2***若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形.
考點： 矩形的判定;全等三角形的判定與性質;平行四邊形的性質.
專題： 證明題.
分析： ***1***根據平行四邊形性質得出AB=CD，∠A=∠C.求出∠ABD=∠CDB.推出∠ABE=∠CDF，根據ASA推出全等即可;
***2***根據全等得出AE=CF，根據平行四邊形性質得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四邊形DFBE是平行四邊形，根據等腰三角形性質得出∠DEB=90°，根據矩形的判定推出即可.
解答： 證明：***1***在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C.
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB.
∴∠ABE=∠CDF.
∵在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF***ASA***.
***2***∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四邊形DFBE是平行四邊形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°.
∴平行四邊形DFBE是矩形.
點評： 本題考查了平行線的性質，平行四邊形的性質和判定，矩形的判定，全等三角形的性質和判定，角平分線定義等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力.
21.如圖，一次函式y=kx+b***k≠0***的圖象過點P***﹣，0***，且與反比例函式y=***m≠0***的圖象相交於點A***﹣2，1***和點B.
***1***求一次函式和反比例函式的解析式;
***2***求點B的座標，並根據圖象回答：當x在什麼範圍內取值時，一次函式的函式值小於反比例函式的函式值?
考點： 反比例函式與一次函式的交點問題.
專題： 數形結合;待定係數法.
分析： ***1***根據待定係數法，可得函式解析式;
***2***根據二元一次方程組，可得函式圖象的交點，根據一次函式圖象位於反比例函式圖象的下方，可得答案.
解答： 解：***1***一次函式y=kx+b***k≠0***的圖象過點P***﹣，0***和A***﹣2，1***，
∴，解得，
∴一次函式的解析式為y=﹣2x﹣3，
反比例函式y=***m≠0***的圖象過點A***﹣2，1***，
∴，解得m=﹣2，
∴反比例函式的解析式為y=﹣;
***2***，
解得，或，
∴B***，﹣4***
由圖象可知，當﹣2時，一次函式的函式值小於反比例函式的函式值.
點評： 本題考查了反比例函式與一次函式的交點問題，待定係數法是求函式解析式的關鍵.
22.童裝店在服裝銷售中發現：進貨價每件60元，銷售價每件100元的某童裝平均每天可售出20件.為了迎接“六一”，童裝店決定採取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利.經調查發現：如果每件童裝降價1元，那麼平均每天就可多售出2件，
***1***降價前，童裝店每天的利潤是多少元?
***2***如果童裝店每要每天銷售這種童裝盈利1200元，同時又要使顧客得到更多的實惠，那麼每件童裝應降價多少元?
考點： 一元二次方程的應用.
專題： 銷售問題.
分析： ***1***用降價前每件利潤×銷售量列式計算即可;
***2***設每件童裝降價x元，利用童裝平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售這種童裝利潤列出方程解答即可.
解答： 解：***1***童裝店降價前每天銷售該童裝可盈利：
***100﹣60***×20=800***元***;
***2***設每件童裝降價x元，根據題意，得
***100﹣60﹣x******20+2x***=1200，
解得：x1=10，x2=20.
∵要使顧客得到更多的實惠，
∴取x=20.
答：童裝店應該降價20元.
點評： 此題主要考查了一元二次方程的實際應用和二次函式實際中的應用，此題找到關鍵描述語，找到等量關係準確的列出方程或函式關係式是解決問題的關鍵.最後要注意判斷所求的解是否符合題意，捨去不合題意的解.
四、解答題***本大題共2個小題，每小題10分，共20分***解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
23.先化簡，再求值：***﹣***÷***﹣1***，其中a是方程a2﹣4a+2=0的解.
考點： 分式的化簡求值;一元二次方程的解.
專題： 計算題.
分析： 原式括號中兩項通分並利用同分母分式的加減法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把已知等式變形後代入計算即可求出值.
解答： 解：原式=[﹣]÷=•=，
由a2﹣4a+2=0，得a2﹣4a=﹣2，
則原式=.
點評： 此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運演算法則是解本題的關鍵.
24.在平面直角座標系xOy中，對於任意兩點P1***x1，y1***與P2***x2，y2***的“非常距離”，給出如下定義：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|y1﹣y2|.
例如：點P1***1，2***，點P1***3，5***，因為|1﹣3|<|2﹣5|，所以點P1與點P2的“非常距離”為|2﹣5|=3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值***點Q為垂直於y軸的直線P1Q與垂直於x軸的直線P2Q的交點***.
***1***已知點A***﹣***，B為y軸上的一個動點，①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出滿足條件的點B的座標;②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值;
***2***如圖2，已知C是直線上的一個動點，點D的座標是***0，1***，求點C與點D的“非常距離”最小時，相應的點C的座標.
考點： 一次函式綜合題.
分析： ***1***①根據點B位於y軸上，可以設點B的座標為***0，y***.由“非常距離”的定義可以確定|0﹣y|=2，據此可以求得y的值;
②設點B的座標為***0，y***，根據|﹣﹣0|≥|0﹣y|，得出點A與點B的“非常距離”最小值為|﹣﹣0|，即可得出答案;
***2***設點C的座標為***x0，x0+3***.根據材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”知，C、D兩點的“非常距離”的最小值為﹣x0=x0+2，據此可以求得點C的座標;
解答： 解：***1***①∵B為y軸上的一個動點，
∴設點B的座標為***0，y***.
∵|﹣﹣0|=≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2;
∴點B的座標是***0，2***或***0，﹣2***;
②設點B的座標為***0，y***.
∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，
∴點A與點B的“非常距離”最小值為|﹣﹣0|=;
***2***如圖2，取點C與點D的“非常距離”的最小值時，需要根據運算定義“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，
則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”解答，此時|x1﹣x2|=|y1﹣y2|.
即AC=AD，
∵C是直線y=x+3上的一個動點，點D的座標是***0，1***，
∴設點C的座標為***x0，x0+3***，
∴﹣x0=x0+2，
此時，x0=﹣，
∴點C與點D的“非常距離”的最小值為：|x0|=，
此時C***﹣，***.
點評： 本題考查了一次函式綜合題.對於資訊給予題，一定要弄清楚題幹中的已知條件.本題中的“非常距離”的定義是正確解題的關鍵.
五.解答題***本大題共2個小題，25題12分，26題12分，共24分***解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
25.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上任意一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連線BE、EF.
***1***如圖1，當E是線段AC的中點，且AB=2時，求△ABC的面積;
***2***如圖2，當點E不是線段AC的中點時，求證：BE=EF;
***3***如圖3，當點E是線段AC延長線上的任意一點時，***2***中的結論是否成立?若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由.
考點： 四邊形綜合題.
分析： ***1***根據菱形的性質證明△ABC是等邊三角形和AB=2，求出△ABC的面積;
***2***作EG∥BC交AB於G，證明△BGE≌△ECF，得到BE=EF;
***3***作EH∥BC交AB的延長線於H，證明△BHE≌△ECF，得到BE=EF.
解答： 解：***1***∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，又E是線段AC的中點，
∴BE⊥AC，AE=AB=1，
∴BE=，
∴△ABC的面積=×AC×BE=;
***2***如圖2，作EG∥BC交AB於G，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△AGE是等邊三角形，
∴BG=CE，
∵EG∥BC，∠ABC=60°，
∴∠BGE=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ECF=120°，
∴∠BGE=∠ECF，
在△BGE和△ECF中，
，
∴△BGE≌△ECF，
∴EB=EF;
***3***成立，
如圖3，作EH∥BC交AB的延長線於H，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△AHE是等邊三角形，
∴BH=CE，
在△BHE和△ECF中，
，
∴△BHE≌△ECF，
∴EB=EF.
點評： 本題考查的是菱形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質，正確作出輔助線、靈活運用相關的判定定理和性質定理是解題的關鍵.
26.如圖，已知點A是直線y=2x+1與反比例函式y=***x>0***圖象的交點，且點A的橫座標為1.
***1***求k的值;
***2***如圖1，雙曲線y=***x>0***上一點M，若S△AOM=4，求點M的座標;
***3***如圖2所示，若已知反比例函式y=***x>0***圖象上一點B***3，1***，點P是直線y=x上一動點，點Q是反比例函式y=***x>0***圖象上另一點，是否存在以P、A、B、Q為頂點的平行四邊形?若存在，請直接寫出點Q的座標;若不存在，請說明理由.
考點： 反比例函式綜合題.
分析： ***1***點A是直線y=2x+1的點，點A的橫座標為1，代入y=2×1+1=3，求得點A即可得到結果;
***2***如圖1，設點M***m，***，過A作AE⊥x軸於E，過M作MF⊥x軸於F，根據題意得：S△AOM=S梯形AEFM=***3+******m﹣1***=4，解方程即可得到結果;
***3***首先求得反比例函式的解析式，然後設P***m，m***，分若PQ為平行四邊形的邊和若PQ為平行四邊形的對角線兩種情況分類討論即可確定點Q的座標.
解答： 解：***1***∵點A是直線y=2x+1的點，點A的橫座標為1，
∴y=2×1+1=3，
∴A***1，3***，
∵點A是反比例函式y=***x>0***圖象上的點，
∴k=3;
***2***如圖1，設點M***m，***，過A作AE⊥x軸於E，過M作MF⊥x軸於F，
根據題意得：S△AOM=S梯形AEFM=***3+******m﹣1***=4，
解得：m=3***負值捨去***，
∴M***3，1***;
***3***∵反比例函式y=***x>0***圖象經過點A***1，3***，
∴k=1×3=3，
∴反比例函式的解析式為y=，
∵點P在直線y=x上，
∴設P***m，m***
，若PQ為平行四邊形的邊，
∵點A的橫座標比點B的橫座標小2，點A的縱座標比點B的縱座標大2，
∴點Q在點P的下方，則點Q的座標為***m+2，m﹣2***如圖2，
若點Q在點P的上方，則點Q的座標為***m﹣2，m+2***如圖3，
把Q***m+2，m﹣2***代入反比例函式的解析式得：m=±，
∵m>0，
∴m=，
∴Q1***+2，﹣2***，
同理可得另一點Q2***﹣2，+2***;
②若PQ為平行四邊形的對角線，如圖4，
∵A、B關於y=x對稱，
∴OP⊥AB
此時點Q在直線y=x上，且為直線y=x與雙曲線y=的交點，
由
解得，***捨去***
∴Q3***，***
綜上所述，滿足條件的點Q有三個，座標分別為：Q1***+2，﹣2***，Q2***﹣2，+2***，Q3***，***.
點評： 本題考查了反比例函式的性質，待定係數法求函式的解析式，平行四邊形的判定和性質，準確的畫出圖形是解題的關鍵.
人教版八年級下冊數學期末試卷及答案