什麼是旋轉矩陣有著怎樣的性質

　　旋轉矩陣解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。那麼你對旋轉矩陣瞭解多少呢?以下是由小編整理關於什麼是旋轉矩陣的內容，希望大家喜歡!

　　什麼是旋轉矩陣

　　旋轉矩陣是世界上著名的彩票專家、澳大利亞數學家底特羅夫研究的，它可以幫助您鎖定喜愛的號碼，提高中獎的機會。首先您要先選一些號碼，然後，運用某一種旋轉矩陣，將你挑選的數字填入相應位置。如果您選擇的數字中有一些與開獎號碼一樣，您將一定會中一定獎級的獎。當然運用這種旋轉矩陣，可以最小的成本獲得最大的收益，且遠遠小於複式投注的成本。

　　旋轉矩陣的原理在數學上涉及到的是一種組合設計：覆蓋設計。而覆蓋設計，填裝設計，斯坦納系，t-設計都是離散數學中的組合優化問題。它們解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。其最古老的數學命題是寇克曼女生問題：

　　某教員打算這樣安排她班上的十五名女生散步：散步時三女生為一組，共五組。問能否在一週內每日安排一次散步，使得每兩名女生在一週內一道散步恰好一次?寇克曼於1847年提出了該問題，過了100多年後，對於一般形式的寇克曼問題的存在性才徹底解決。用1~15這15個數字分別代表15個女生，其中的一組符合要求的分組方法是：

　　星期日：***1，2，3***，***4，8，12***，***5，10，15***，***6，11，13***，***7，9，14***

　　星期一：***1，4，5***，***2，8，10***，***3，13，14***，***6，9，15***，***7，11，12***

　　星期二：***1，6，7***，***2，9，11***，***3，12，15***，***4，10，14***，***5，8，13***

　　星期三：***1，8，9***，***2，12，14***，***3，5，6***，***4，11，15***，***7，10，13***

　　星期四：***1，10，11***，***2，13，15***，***3，4，7***，***5，9，12***，***6，8，14***

　　星期五：***1，12，13***，***2，4，6***，***3，9，10***，***5，11，14***，***7，8，15***

　　星期六：***1，14，15***，***2，5，7***，***3，8，11***，***4，9，13***，***6，10，12***

　　旋轉矩陣的性質

　　設是任何維的一般旋轉矩陣:

　　兩個向量的點積在它們都被一個旋轉矩陣操作之後保持不變: 從而得出旋轉矩陣的逆矩陣是它的轉置矩陣: 這裡的 是單位矩陣。 一個矩陣是旋轉矩陣，當且僅當它是正交矩陣並且它的行列式是單位一。正交矩陣的行列式是 ±1;如果行列式是 −1，則它包含了一個反射而不是真旋轉矩陣。 旋轉矩陣是正交矩陣，如果它的列向量形成 的一個正交基，就是說在任何兩個列向量之間的標量積是零***正交性***而每個列向量的大小是單位一***單位向量***。 任何旋轉向量可以表示為斜對稱矩陣 A的指數: 這裡的指數是以泰勒級數定義的而 是以矩陣乘法定義的。A 矩陣叫做旋轉的“生成元”。旋轉矩陣的李代數是它的生成元的代數，它就是斜對稱矩陣的代數。生成元可以通過 M 的矩陣對數來找到。

　　旋轉矩陣的二維空間

　　在二維空間中，旋轉可以用一個單一的角 θ 定義。作為約定，正角表示逆時針旋轉。把笛卡爾座標的列向量關於原點逆時針旋轉θ 的矩陣是:

　　該矩陣的逆矩陣為：

　　表示較原來反方向旋轉θ ，也即順時針旋轉θ

　　順時針旋轉就直接計算-θ 即可。

　　旋轉矩陣的三維空間

　　在三維空間中，旋轉矩陣有一個等於單位一的實特徵值。旋轉矩陣指定關於對應的特徵向量的旋轉***尤拉旋轉定理***。如果旋轉角是 θ，則旋轉矩陣的另外兩個***複數***特徵值是 exp***iθ*** 和 exp***-iθ***。從而得出 3 維旋轉的跡數等於 1 + 2 cos***θ***，這可用來快速的計算任何 3 維旋轉的旋轉角。

　　3 維旋轉矩陣的生成元是三維斜對稱矩陣。因為只需要三個實數來指定 3 維斜對稱矩陣，得出只用三個是實數就可以指定一個3 維旋轉矩陣。

　　生成旋轉矩陣的一種簡單方式是把它作為三個基本旋轉的序列複合。關於右手笛卡爾座標系的 x-, y- 和 z-軸的旋轉分別叫做 roll, pitch 和 yaw 旋轉。因為這些旋轉被表達為關於一個軸的旋轉，它們的生成元很容易表達。

　　繞 x-軸的旋轉定義為: 這裡的 θx 是 roll 角。 繞 y-軸的旋轉定義為: 這裡的 θy 是 pitch 角。 繞 z-軸的旋轉定義為: 這裡的 θz 是 yaw 角。

　　在飛行動力學中，roll, pitch 和 yaw 角通常分別採用符號 γ, α, 和 β;但是為了避免混淆於尤拉角這裡使用符號 θx, θy 和 θz。

　　任何 3 維旋轉矩陣 都可以用這三個角 θx, θy, 和 θz 來刻畫，並且可以表示為 roll, pitch 和 yaw 矩陣的乘積。

　　是在 中的旋轉矩陣 在 中所有旋轉的集合，加上覆合運算形成了旋轉群 SO***3***。這裡討論的矩陣接著提供了這個群的群表示。更高維的情況可參見 Givens旋轉。

　　角-軸表示和四元數表示

　　在三維中，旋轉可以通過單一的旋轉角 θ 和所圍繞的單位向量方向 來定義。

　　這個旋轉可以簡單的以生成元來表達:

　　在運算於向量 r 上的時候，這等價於Rodrigues旋轉公式：

　　角-軸表示密切關聯於四元數表示。依據軸和角，四元數可以給出為正規化四元數 Q:

　　這裡的 i, j 和 k 是 Q 的三個虛部。

　　尤拉角表示***Euler角***

　　在三維空間中，旋轉可以通過三個尤拉角 ***α,β,γ*** 來定義。有一些可能的尤拉角定義，每個都可以依據 roll, pitch 和 yaw 的複合來表達。依據 "z-x-z" 尤拉角，在右手笛卡爾座標中的旋轉矩陣可表達為:

　　進行乘法運算生成:

　　因為這個旋轉矩陣不可以表達為關於一個單一軸的旋轉，它的生成元不能像上面例子那樣簡單表達出來。

　　對稱保持 SVD 表示

　　對旋轉軸 q 和旋轉角 θ，旋轉矩陣

　　這裡的 的縱列張開正交於 q 的空間而 G 是 θ 度 Givens 旋轉。

旋轉矩陣的性質