合同變換矩陣怎麼求?

General 更新 2023年10月15日

合同矩陣怎麼找？

1 對於任一實係數n元二次型X'AX，要化為標準型，實際上就是要找一個可逆變換X=CY，將它化為Y'BY的形式，其中B為對角陣。則C'AC=B,B就是A的一個合同矩陣了。

2 如果你想要的是將A經合同變換化為B時的變換矩陣C，常用的方法有3種，即配方法、初等變換法和正交變換法。

（1）配方法：如果二次型中含變量xi的平方項，則先將含xi的項集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方項；如果二次型不含平方項，但某混合項係數aij不為0，可先通過xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）這一可逆變換使二次型中出現平方項後，按前一方法配方。

例，f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1^2+4x1x2+2x1x3)+x2^2+3x3^2+2x2x3

=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;

作變換y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得標準型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.

將上述變換求出逆變換x1=y1-2y2-5礎3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,寫成矩陣形式X=CY形式，其中C=（1，-2，-5/3；0，1，-1/3；0，0，1）（分號表示矩陣行結束）就是合同變換中的變換矩陣。

例，f=2x1x2-6x1x3,無平方項，則先作變換x1=y1+y2,x2=y1-y2,y3=x3,代入f中

f=2y1^2-2y2^2-6y1y3-6y2y3=2(y1-3/2*y3)^2-2(y2+3/2*y3)^2;

再作變換z1=y1-3/2*y3,z2=y2+3/2*y3,z3=y3用逆變換y1=z1+3/2*z3,y2=z2-3/2*z3,y3=z3,就能把f化成

f=2z1^2-2z2^2這種標準二次型。

最後將再次用的變換寫成矩陣形式，X=C1*Y,Y=C2*Z的形式，X=C1*C2*Z,則C=C1*C2就是所求（具體計算略）。

（2）初等變換法：

將二次型的矩陣A與同階單位陣I合併成n_2n的矩陣（A|I），在這個矩陣中作初等行變換並對子塊A再作同樣的初等列變換，當將A化為對角陣時，子塊I將會變為C’。

（3）正交變換法：

先寫出二次型f的tdbl，它是實對稱矩陣，求出全部特徵值λi（i=1，2，……，n）；再對每一特徵值寫出它所對應的單位特徵向量（特徵值相同的不同特徵向量注意正交化）；把上述單位正交特徵向量作為矩陣的列構造正交矩陣T，那麼正交變換X=TY將會把二次型X'AX化為標準形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2

合同矩陣中可逆矩陣的求法

這是個簡單置換

先交換1,3列,再交換2,3列

即

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-->

0 0 1

0 1 0

1 0 0

-->

0 1 0

0 0 1

1 0 0

合同變換是行列同時相應變換(左乘C^T右乘C)

上面記錄下的就是列的變換,對應C

高人指點，給兩個已知的合同矩陣，怎麼直接計算從一個矩陣合同變換到另一個矩陣的合同因子 50分

你就不能問同學嗎？線代課不好好聽講就得虛心求教同學，比百度知道快得多

老師您好，請問一下，已知矩陣和其合同矩陣，如何求使他們合同的可逆矩陣？

A=PBPT

此時可以使用增廣矩陣B|I

進行初等變換（先對B|I 作初等行變換，再對B作相應的初等列變換，這樣交替進行）

最終，左側B化成A, 即增廣矩陣可以化成A|P的形式

於是就得到右側的P矩陣

矩陣的相似變換在幾何上對應什麼？合同變換

圖形的相似變換是指由一個圖形到另一個圖形，在改變的過程中保持形狀不變（大小方向和位置可變）的圖形。

設M是方陣， P是一個同階可逆矩陣（即行列式不為零，也稱非奇異矩陣）， N=P^(-1)MP 稱為M的相似變換。其中如果M和P都可以是複數域內的方陣，為了區別，我們通常稱為復相似變換。