怎樣判斷矩陣線性相關?

General 更新 2023年10月15日

怎麼判斷一組矩陣是否線性相關

k1x1+k2x2+k3x3·········+knxn=0時，求出的ki（i=N+）不等於0 即可

矩陣線性相關如何判斷

把向量組寫成矩陣,進行初等變換,計算矩陣行列式,若為零則線性相關

矩陣怎麼判斷線性相關與線性無關還有怎麼判斷秩的個數 20分

給出的向量組線性相關.因為,構成的矩陣的秩數=2,小於向量組個數.（秩數=2,因為矩陣的行列式=0,且有二階不為零的子行列式）供參考.

如何用秩判斷線性相關？線性代數問題

設矩陣A為m*n階矩陣。矩陣A的秩為r，若r=n，則矩陣列向量組線性無關，若r

如何理解矩陣的線性相關和無關啊？

對向量組，如果存在一組不全為零的數 , 使得

那麼, 稱向量組線性相關. 如果這樣的個數不存在, 即上述向量等式僅當時才能成立, 就稱向量組線性無關.

含零向量的向量組一定線性相關 , 因為

其中, 不全為零.

只有一個向量組成的向量組線性無關的充分必要條件是 , 線性相關的充分必要條件是 .

考慮齊次線性方程組

(*)

它可以寫成

，

或

其中

由此可見, 向量組線性相關的充分必要條件是齊次線性方程組 (*) 有非零解. 也就是說, 向量組線性無關的充分必要條件是齊次線性方程組 (*) 只有零解.

例1 向量組是線性無關的 .

解: 設有使

即

得齊次線性方程組

解此方程組得 , 所以向量組線性無關.

例2 設向量組線性無關, 又設 , 證明向量組也線性無關.

證明: 設有使

即

因為線性無關, 故有

此線性方程組只有零解 , 也即向量組線性無關.

定理 9.1 向量組線性相關的充分必要條件是其中至少有一個向量可以由其餘個向量線性表示 .

證明: 必要性設線性相關, 即存在一組不全為零的數 , 使得 . 不妨設 , 則有

即可以由其餘個向量線性表示. 其實, 在向量等式中, 任何一個係數的向量都可以由其餘個向量線性表示 .

充分性設向量組中有一個向量能由其餘個向量線性表示 . 不妨設

則

因為不全為零, 所以線性相關.

二、向量組線性相關和線性無關判別定理 :

設矩陣的列向量組為 ,

矩陣的列向量組為 ,其中矩陣是通過對矩陣做行初等變換後得到的.我們有以下定理:

定理 9.2 向量組與向量組有相同的線性相關性.

證明 :記 .那麼,當且僅當齊次線性方程組有非零解時向量組線性相關.當且僅當齊次線性方程組有非零解時向量組線性相關.由於齊次線性方程組或者只是對調了的第個方程與第個方程的位置,或者只是用非零數承的第個方程,或者只是把的第個方程的倍加到第個方程上去,這連個方程組一定是同解的,所以,對應的向量組有相同的線性相關性.

定理 9.3 如果向量組線性相關,那麼也線性相關.

證明 :向量組線性相關,即存在不全為零的數使

於是

但是 , 仍不全為零,因此,向量組線性相關.

推論 9.4 線性無關向量組的任意一個非空部分組仍是線性無關向量組.

定理 9.5 設有維向量組

與維向量組

如果向量組線性無關,那麼,向量組也線性無關.

推論 9.6 維向量組的每一個向量添加個分量成為維向量.如果維向量組線性無關,那麼, 維向量組也線性無關.反言之,如果維向量組線性相關,那麼, 維向量組也線性相關.

定義 9.2 在型的矩陣中,任取行列 ,位於這些行列交叉處的個元素,不改變它們在中所處的位置次序而得的階矩陣行列式,稱為矩陣的階子式.

型矩陣的階子式共有個.

定理 9.7 設維向量組構成矩陣