特徵值本質是什麼?

特徵值和特徵向量的幾何意義是什麼？

特徵向量的幾何意義

特徵向量確實有很明確的幾何意義，矩陣(既然討論特徵向量的問題，當然是方陣，這裡不討論廣義特徵向量的概念，就是一般的特徵向量)乘以一個向量的結果仍 是同維數的一個向量，因此，矩陣乘法對應了一個變換，把一個向量變成同維數的另一個向量，那麼變換的效果是什麼呢？這當然與方陣的構造有密切關係，比如可 以取適當的二維方陣，使得這個變換的效果就是將平面上的二維向量逆時針旋轉30度，這時我們可以問一個問題，有沒有向量在這個變換下不改變方向呢？可以想 一下，除了零向量，沒有其他向量可以在平面上旋轉30度而不改變方向的，所以這個變換對應的矩陣(或者說這個變換自身)沒有特徵向量(注意：特徵向量不能 是零向量)，所以一個變換的特徵向量是這樣一種向量，它經過這種特定的變換後保持方向不變，只是進行長度上的伸縮而已(再想想特徵向量的原始定義Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了嗎？cx是方陣A對向量x進行變換後的結果，但顯然cx和x的方向相同)，而且x是特徵向量的話，ax也是特徵向量(a是標 量且不為零)，所以所謂的特徵向量不是一個向量而是一個向量族， 另外，特徵值只不過反映了特徵向量在變換時的伸縮倍數而已，對一個變換而言，特徵向量指明的方向才是很重要的，特徵值不是那麼重要，雖然我們求這兩個量時 先求出特徵值，但特徵向量才是更本質的東西！

比如平面上的一個變換，把一個向量關於橫軸做鏡像對稱變換，即保持一個向量的橫座標不變，但縱座標取相反數，把這個變換表示為矩陣就是[1 0;0 -1]，其中分號表示換行，顯然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]',其中上標'表示取轉置，這正是我們想要的效果，那麼現在可以猜一下了，這個矩陣的特徵向量是什麼?想想什麼向量在這個變換下保持方向不變，顯 然，橫軸上的向量在這個變換下保持方向不變(記住這個變換是鏡像對稱變換，那鏡子表面上(橫軸上)的向量當然不會變化)，所以可以直接猜測其特徵向量是 [a 0]'(a不為0)，還有其他的嗎？有，那就是縱軸上的向量，這時經過變換後，其方向反向，但仍在同一條軸上，所以也被認為是方向沒有變化，所以[0 b]'(b不為0)也是其特徵向量，去求求矩陣[1 0;0 -1]的特徵向量就知道對不對了!

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如何理解矩陣特徵值

Aa=λa（從這個式子可以看出特徵值本質）

λ是A的特徵值，a是A的特徵向量。

特徵值有什麼用？

特徵值在解方程的方面應用特別廣泛..看似解不出來的方程..一旦又特徵值..就能看透它的本質了..比如拿高中比較難的數列題...an=a(n-1)+a(n-2)+C這樣的類型的..用特徵值的思想..可以很快的得出通項..還有比較難解的微分方程...有些常數變易法不行的方程..通過找特徵值.可以解出來..你可以看一看高等數學裡面的特徵值..還有代數分析..

哪位能全面地論述一下因子分析特徵值的含義

該因子的方差貢獻率=該因子的特徵值/所有因子特徵值之和

因子分析的方法約有10多種，如重心法、影像分析法，最大似然解、最小平方法、阿爾發抽因法、拉奧典型抽因法等等。這些方法本質上大都屬近似方法，是以相關係數矩陣為基礎的，所不同的是相關係數矩陣對角線上的值，採用不同的共同性□2估值。在社會學研究中，因子分析常採用以主成分分析為基礎的反覆法。

主成分分析為基礎的反覆法　主成分分析的目的與因子分析不同，它不是抽取變量群中的共性因子，而是將變量□1，□2，…,□□進行線性組合,成為互為正交的新變量□1，□2，…,□□，以確保新變量具有最大的方差：

在求解中,正如因子分析一樣,要用到相關係數矩陣或協方差矩陣。其特徵值□1，□2，…,□□,正是□1，□2,…，□□的方差，對應的標準化特徵向量，正是方程中的係數□，□，…,□。如果□1>□2,…,□□，則對應的□1，□2，…，□□分別稱作第一主成分,第二主成分,……,直至第□主成分。如果信息無需保留100%,則可依次保留一部分主成分□1，□2，…，□□(□<□)。

當根據主成分分析，決定保留□個主成分之後，接著求□個特徵向量的行平方和，作為共同性□：

單特徵根是什麼意思 15分

特徵根指數學中解常係數線性微分方程。

特徵根法在求觸推數列通項中的運用 各種數列問題在很多情形下,就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中,數列通項公式的求解問題需要用到。

特徵根法也可用於通過數列的遞推公式（即差分方程，必須為線性）求通項公式，其本質與微分方程相同。

定義

特徵根法是解常係數線性微分方程的一種通用方法。

特徵根法也可用於通過數列的遞推公式（即差分方程，必須為線性）求通項公式，其本質與微分方程相同。

稱為二階齊次線性差分方程：

加權的特徵方程。

問什麼要研究矩陣的特徵值，其背景，目的和意義

特徵值是刻畫矩陣的一種本質特徵。

在矩陣對角化，求相似矩陣、求矩陣的乘冪，等許多地方都有用處。

承載力特徵值的取值原則

在取值原則上，特徵值和標準值的本質是一樣的。但是在使用意義上，它是設計值。過去地基規範有的叫標準值，有的叫設計值，現在新規範為了避免混淆，才將地基承載力稱為“特徵值”。有些地勘報告裡的標準值，實際上就是我們所說的特徵值。如果給出的是極限值，就應該除以2.0，就是特徵值了。在老規範體系的94樁基規範裡，樁承載力設計值（即新規範的特徵值）的分項係數（實際上應該是安全係數）取1.60~1.70。現在新國標對於樁承載力特徵值取值，統一採用2.0。2.0是安全係數，不是抗力分項係數。將極限承載力除以2.0，與直接取比例極限，這兩個含義是一樣的。例如一級鋼筋的比例極限（即屈服強度）是235mpa，這是標準值，除以1.1的抗力分項係數等於210mpa，這就是設計值了。而對於特徵值來說，其含義就相當於直接取235mpa，沒有1.1的抗力分項係數。提醒一點：規範裡的所有公式中，凡是有“特徵值fa”的地方，對應的上部結構傳下來的荷載或內力，都是採用標準值。