什麼是無窮小量?

General 更新 2023年10月15日

什麼是無窮大量和無窮小量

1、在自變量的某個變化過程中，絕對值無限增大的變量稱為無窮大量，或叫做無窮大；

如果從某個時刻開始，該變量恆取正值，且絕對值無限增大，則稱之為正無窮大；

如果從某個時刻開始，該變量恆取負值，且絕對值無限增大，則稱之為負無窮大；

正無窮大，負無窮大都是無窮大量。

2、在自變量的某個變化過程中，絕對值無限減小的變量稱為無窮小量或叫做無窮小。數0也是無窮小，雖然它的絕對值不再變化，但絕對值已經達到最小，數0是一個非常特殊的無窮小。

什麼叫高階無窮小量和低階無窮小量？

定義：若lim x→x0 f(x)/g(x)=0，則稱f為g的高階無窮小量，或稱g為f的低階無窮小量。需要注意的是，這兩個概念是相對的，不能說某個量是高階無窮小量或是低階無窮小量，應該是某個量是某個量的高階無窮小量或低階無窮小量。這個定義跟極限的知識有關，需要說明你的變量趨向與某個數或是無窮，這是條件。就是要說明在什麼條件下，誰是誰的高階或低階。如果知道極限的知識，會很好理解。舉例：當 x→0時，x、x平方、x三次方……都是無窮小量，且後面一個都是前面一個的高階無窮小量，或者前面一個都是後面一個的低階無窮小量。又如當 α→0時，（1－cosα）/sinα＝0 ，所以當α→0時，1－cosα是sinα的高階無窮小量，或sinα是1－cosα的低階無窮小量。明白了沒。。。

什麼是無窮小量,什麼是高階無窮小量?

以數零為極限的變量。確切地說，當自變量x無限接近x0(或x的絕對值無限增大)時，函數值f(x)與零無限接近，即f(x)→0，則稱f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小量。例如，f(x)＝(x－1)2是當x→1時的無窮小量，f(n)＝是當n→∞時的無窮小量，f(x)＝sinx是當x→0時的無窮小量。特別要指出的是，切不可把很小的數與無窮小量混為一談。

設f(x)，g(x)均為x→x0(或x→∞)時的無窮小量，且f(x)/g(x)→0，則稱f(x)是g(x)的高階無窮小量，記作

f(x)=o(g(x))。

什麼是無窮小

無窮小量是數學分析中的一個概念，用以嚴格地定義諸如“最終會消失的量”、“絕對值比任何正數都要小的量”等非正式描述。在經典的微積分或數學分析中，無窮小量通常它以函數、序列等形式出現，例如，一個序列 a=(a_n)_{n\in \mathbb{N}} 若滿足如下性質：對任意的預先給定的正實數 \varepsilon>0 ，存在正整數 \displaystyle N 使得 |a_k| < \varepsilon 在 \displaystyle k>N 時必定成立；或用極限符號把上述性質簡記為 \lim_{n\to \infty} a_n = 0 則序列 a 被稱為 n\to \infty 時的無窮小量。

在非標準分析中，無窮小量也和實數一樣被視為具體的“數”，這些數比零大，但比任何正實數都小。前面用序列來定義無窮小量的經典方法或多或少有些難於處理，而“非標準”的無窮小量。