黎曼幾何沒有平行線?

General 更新 2023年10月15日

黎曼幾何為什麼沒有平行線

兩平行線相交於無窮點

以下為引用：

“平行線公理”之爭的終結——黎曼幾何

讓我們先來個邏輯推理：對於“過直線外一點可做其幾條平行線”？歐氏幾何說，只能做一條；羅氏幾何說，至少可以做兩條（包括一組和無數）。那麼還剩什麼情況沒涉及到呢？

很顯然，就是一條都不能做！

而有人沿著這個思路想下去，還真的又創立了一種“非歐幾何”。這個人叫“黎曼”，是德國數學家，所以這種幾何又被稱為“黎曼幾何”。1854年黎曼所作的《論幾何學作為基礎的假設》一文，是“黎曼非歐幾何”誕生的標誌。

那麼黎曼何以認為“過直線外一點一條該直線的平行線也做不出來”呢？

這需要我們再回到球面。我在講羅氏幾何時，就不得不提前告訴大家，圓球上的“直線”是過球心的圓上的“大圓弧”，且這些“直線圓”都是相交的，並建議大家用兩根“赤道圓繩”在地球儀上比劃，以獲得鮮明、生動的“感性認識”。（請參見41頁2027復“羅氏幾何可能在什麼“面”上實現？”）其實這一思想是黎曼的。

這裡需要注意的是：我們大家所熟悉的地球儀上的“緯線圈”可不是“球面直線”！亦即“緯線圈”及其“圓弧”不是“短程線”（或說“測地線”）。這是為什麼呢？大家可以就著地球儀觀察一下，凡是“直線圓及其圓弧”，過其上任一點所做的圓球的切面，與這個直線圓或其圓弧都是“垂直”關係！這是球面“直線”和“直線圓”的突出特點。但緯線圈及其圓弧就無此特點了，你可以任意選一緯線（赤道除外），然後在其上任選一點，過該點做圓球的切面（用本書罩在這點上，使地球儀靠在這書上，就像地球儀靜放在桌面上的書上的狀態一樣即可。這裡只不過移到了空中）。這時你就可明顯地發現，緯線圈與其有關“球切面（書）”是一種“斜交”關係，而非“垂直”關係。當然，“一段緯線”，即“緯線圓弧”，與其各點“球切面”的關係，亦是“斜交”，而非垂直關係。因此緯線圈及其圓弧不是球面上的“直線”。——由此，旅行時，大家應選擇走“球面直線圓弧”（大圓弧），而不是“沿著緯線走”，這樣你才能真正走“捷徑”！沿著緯線走其實是“繞遠”、走了彎路了。但“赤道”既是緯線又是球面直線圓，所以在赤道沿著赤道走是最短途徑，是走的“直線”。

下面回到正題：正是由於球上“大圓弧”延長後都是有限、封閉的（都成“圓”），且任何兩個“球面直線圓”都相交，因此黎曼認為球面（如我們的“地球”，曾被看成“平面”）上其實無平行線可言，當然也就更談不到“過直線外一點作其一條或幾條平行線”了。這樣關於歐氏幾何的“第五公設”，到了黎曼這裡，就變成“過直線外一點一條平行線都做不出來”了（這其實也是歐氏第五公設的一個“反命題”）！

而“圓球”是“橢圓球”的特例，我們的地球實際就是個不規則的“橢球體”。關於圓球和各種橢球的關係如下：

橢球是一種二次曲面，是橢圓在三維空間的推廣。橢球在xyz-笛卡兒座標系中的方程是：

其中a和b是赤道半徑（沿著x和y軸），c是極半徑（沿著z軸）。這三個數都是固定的正實數，決定了橢球的形狀。

如果三個半徑都是相等的，那麼就是一個球；如果有兩個半徑是相等的，則是一個類球面。

球；

扁球面（類似塊狀）；

長球面（類似條狀）；

不等邊橢球（“三條邊都不相等”）。

點(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。從原點到這三個點的線段，稱為橢球的半主軸。它們與橢圓的半長軸和半短軸相對應。（摘自“維基百科”，請參見下圖）

因此，黎曼由圓球得出的結論，可以推廣到“橢球”：過橢球心的“橢圓及其圓弧”乃橢球上的“短程線”或說“測地線”，亦即“橢球直線”。同樣這些“直線橢圓”也是相交關係......

為什麼相交線段平行(黎曼幾何)

你說的是微分幾何吧。

很高興有這個機會向你解釋一下，因為我是學數學的，首先你們老師說的是有點問題的，在非歐幾何中（包括黎曼幾何和羅巴切夫斯基幾何），直線並不是我們現在通常的直線，例如在羅巴切夫斯基幾何中直線就是一系列起始點在實軸上的半圓周，所以它也叫做“球面幾何”，雖然這跟我們平常的先天直觀不符，但是它也並沒有違背邏輯。

比如在球面幾何上，兩條經線是平行的，但是直觀上他們卻是相交的。以後有機會就多學學數學吧。

黎曼幾何為什麼平行線

你想問的是為什麼黎曼幾何中平行線可以相交吧。簡單的舉個例子，地球的兩條平行的經線會有兩個交點，也就是北極點和南極點。黎曼幾何是建立在黎曼空間上的，是比我們日常所處的歐式空間更復雜的曲面空間，事實上，曲面空間才是真實的宇宙。

我和你就像平面幾何裡的平行線，縱然延續再長，卻永遠沒有交點，這一刻我奢望黎曼幾何的世界。