解析幾何
一、基礎鞏固訓練
1、如果圓(x−a)2+(y−a)2=4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數a的取值範圍是_________.
2、已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是準線上一點，
且，，則雙曲線的離心率是.
3、若過點A(a,a)可作圓x2+y2−2ax+a2+2a−3=0的兩條切線，則實數的取值範圍是.
4、已知拋物線焦點恰好是雙曲線的右焦點，且雙曲線過點（），則該雙曲線的漸近線方程為__ .
5、在平面直角座標系內，點到點、及到直線的距離都相等，如果這樣的點恰好只有一個，那麼.
6、已知直線，圓：，若是直線上的點，圓C上存在點Q，使(為座標原點),則的取值範圍是.
二、例題
例1、已知點P(a,−1)(a∈R)，過點P作拋物線C:y=x2的切線，切點分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)(其中x1< x2)．
⑴求x1與x2的值（用a表示）；
⑵若以點P為圓心的圓E與直線AB相切，求圓E面積的最小值．
解：（1）由可得，．
∵直線與曲線相切，且過點，
∴，即，∴，或， 同理可得：，或,∵，∴，．
（2）由（1）可知，，，
則直線的斜率，
∴直線的方程為：，又，
∴，即．
∵點到直線的距離即為圓的半徑，即，……10分ks**5u
∴
，
當且僅當，即，時取等號．
故圓面積的最小值．
例2、已知離心率為2(3)的橢圓的頂點A1、A2恰好是雙曲線3(x2)−y2=1的左右焦點，點P是橢圓不同於A1、A2的任意一點，設直線P A1、PA2的斜率分別為k1、k2..
⑴求橢圓C1的標準方程；
⑵試判斷k1·k2.的值是否與點P的位置有關，並證明你的結論；
⑶當k1=2(1)時，圓C1：x2+y2−2mx=0被直線PA2截得弦長為5(5)，求實數m的值.
解：（1）雙曲線的左右焦點為,即的座標分別為.
所以設橢圓的標準方程為,則,
且,所以,從而,
所以橢圓的標準方程為. 若是豎放的，則：
(2)設則，即
.所以的值與點的位置無關，恆為.
（3）由圓：得，其圓心為，半徑為，
由（2）知當時，，故直線的方程為即，
所以圓心為到直線的距離為，
又由已知圓：被直線截得弦長為及垂徑定理得
圓心到直線的距離，
所以，即，解得或.
所以實數的值為或.
例3、已知圓O：x2+y2=2交x軸於A、B兩點，P在圓O上運動（不與A、B重合），過P作直線l1，OS垂直於l1交直線l2：x=−3於點S．
⑴求證：“如果直線過點T(−1,0)，那麼OP(→)·PS(→)=1”為真命題；
⑵寫出⑴中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，並說明理由．
解：（1）設，則．當時，直線過點，，即，．當時，直線過點，直線的斜率，直線OS的斜率，其方程為，，即．
．故“如果直線過點，那麼”為真命題．
（2）逆命題為：如果，那麼直線過點．逆命題也為真命題，以下給出證明：設，則，，，又，．當時，直線的方程為，顯然過點；當時，直線OS的斜率，直線的方程為，令，得，直線過定點．綜上，直線恆過定點．
專題二：解析幾何參考答案
1、； 2、； 3、；4、；
5、； 6、.
例1、解：（1）由可得，．
∵直線與曲線相切，且過點，
∴，即，∴，或， 同理可得：，或,∵，∴，．
（2）由（1）可知，，，
則直線的斜率，
∴直線的方程為：，又，
∴，即．
∵點到直線的距離即為圓的半徑，即，……10分ks**5u
∴
，
當且僅當，即，時取等號．
故圓面積的最小值．
例2、解：（1）雙曲線的左右焦點為,即的座標分別為.
所以設橢圓的標準方程為,則,
且,所以,從而,
所以橢圓的標準方程為. 若是豎放的，則：
(2)設則，即
.所以的值與點的位置無關，恆為.
（3）由圓：得，其圓心為，半徑為，
由（2）知當時，，故直線的方程為即，
所以圓心為到直線的距離為，
又由已知圓：被直線截得弦長為及垂徑定理得
圓心到直線的距離，
所以，即，解得或.
所以實數的值為或.
例3、解：（1）設，則．當時，直線過點，，即，．當時，直線過點，直線的斜率，直線OS的斜率，其方程為，，即．
．故“如果直線過點，那麼”為真命題．
（2）逆命題為：如果，那麼直線過點．逆命題也為真命題，以下給出證明：設，則，，，又，．當時，直線的方程為，顯然過點；當時，直線OS的斜率，直線的方程為，令，得，直線過定點．綜上，直線恆過定點．