八年級數學上冊期末考試試卷
寒窗苦讀出成果，筆走龍蛇猶有神。祝你八年級數學期末考試交出滿足的答卷。下面是小編為大家精心整理的，僅供參考。
八年級數學上冊期末試題
一、選擇題***本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項填寫第3頁相應答題欄內，在卷Ⅰ上答題無效***
1.如圖所示4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是*** ***
A. B. C. D.
2.若a>0，b<﹣2，則點***a，b+2***在*** ***
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.使分式 無意義的x的值是*** ***
A.x=﹣ B.x= C.x≠﹣ D.x≠
4.如圖，已知∠1=∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是*** ***
A.AB=AC B.BD=CD C.∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA
5.一次函式y=mx+|m﹣1|的圖象過點***0，2***，且y隨x的增大而增大，則m的值為*** ***
A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣1或3
6.甲、乙兩人沿相同的路線由A地到B地勻速前進，A，B兩地間的路程為20千米，他們前進的路程為s***單位：千米***，甲出發後的時間為t***單位：小時***，甲、乙前進的路程與時間的函式圖象如圖所示.根據圖象資訊，下列說法正確的是*** ***
A.甲的速度是4千米/小時 B.乙的速度是10千米/小時
C.甲比乙晚到B地3小時 D.乙比甲晚出發1小時
二、填空題***本大題共10小題，每小題2分，共20分.請將答案填寫在第3頁相應答題欄內，在卷Ⅰ上答題無效***
7.已知函式y=***n﹣2***x+n2﹣4是正比例函式，則n為 .
8.點C到x軸的距離為1，到y軸的距離為3，且在第三象限，則C點座標是 .
9.化簡： ﹣ = .
10.已知 ，則代數式 的值為 .
11.在等腰△ABC中，AB=AC，其周長為20cm，則AB邊的取值範圍是 cm.
12.如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分線MN交AC於點D，則∠A的度數是 .
13.如圖，△ABC是等邊三角形，點D為AC邊上一點，以BD為邊作等邊△BDE，連線CE.若CD=1，CE=3，則BC= .
14.如圖，已知函式y=3x+b和y=ax﹣3的圖象交於點P***﹣2，﹣5***，則根據圖象可得不等式3x+b>ax﹣3的解集是 .
15.在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC邊上的高為12cm，則△ABC的面積為 cm2.
16.當x分別取﹣ 、﹣ 、﹣ 、…、﹣ 、﹣2、﹣1、0、1、2、…、2015、2016、2017時，計算分式 的值，再將所得結果相加，其和等於 .
三、解答題***本大題共有9小題，共68分，解答時在試卷相應的位置上寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.***
17.計算： +|1+ |.
18.解方程： =1+ .
19.如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1.
***1***圖1中已知線段AB、CD，畫線段EF，使它與AB、CD組成軸對稱圖形***要求：畫出一個即可***;
***2***在圖2中畫出一個以格點為端點長為 的線段.
20.已知：y﹣3與x成正比例，且當x=﹣2時，y的值為7.
***1***求y與x之間的函式關係式;
***2***若點***﹣2，m***、點***4，n***是該函式圖象上的兩點，試比較m、n的大小，並說明理由.
21.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點，CE⊥AD於E，BF∥AC交CE的延長線於F.
***1***求證：△ACD≌△CBF;
***2***求證：AB垂直平分DF.
22.先化簡，再求值：*** ﹣ ***÷ ，其中x= .
23.如圖所示，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形拼成，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，請你利用這個圖形解決下列問題：
***1***證明勾股定理;
***2***說明a2+b2≥2ab及其等號成立的條件.
24.已知直線l1：y=﹣ 與直線l2：y=kx﹣ 交於x軸上的同一個點A，直線l1與y軸交於點B，直線l2與y軸的交點為C.
***1***求k的值，並作出直線l2圖象;
***2***若點P是線段AB上的點且△ACP的面積為15，求點P的座標;
***3***若點M、N分別是x軸上、線段AC上的動點***點M不與點O重合***，是否存在點M、N，使得△ANM≌△AOC?若存在，請求出N點的座標;若不存在，請說明理由.
25.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM= ∠ABC，點D是直線BC上的動點，過點D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC於F.
***1***如圖1所示，當點D與點B重合時，延長BA，CM交點N，證明：DF=2EC;
***2***當點D在直線BC上運動時，DF和EC是否始終保持上述數量關係呢?請你在圖2中畫出點D運動到CB延長線上某一點時的圖形，並證明此時DF與EC的數量關係.
參考答案
一、選擇題***本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項填寫第3頁相應答題欄內，在卷Ⅰ上答題無效***
1.如圖所示4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是*** ***
A. B. C. D.
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據軸對稱圖形的概念求解.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，故正確;
B、不是軸對稱圖形，故錯誤;
C、不是軸對稱圖形，故錯誤;
D、不是軸對稱圖形，故錯誤.
故選A.
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸摺疊後可重合.
2.若a>0，b<﹣2，則點***a，b+2***在*** ***
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點】點的座標.
【專題】壓軸題.
【分析】應先判斷出所求的點的橫縱座標的符號，進而判斷點所在的象限.
【解答】解：∵a>0，b<﹣2，
∴b+2<0，
∴點***a，b+2***在第四象限.故選D.
【點評】解決本題的關鍵是記住平面直角座標系中各個象限內點的符號，四個象限的符號特點分別是：第一象限***+，+***;第二象限***﹣，+***;第三象限***﹣，﹣***;第四象限***+，﹣***.
3.使分式 無意義的x的值是*** ***
A.x=﹣ B.x= C.x≠﹣ D.x≠
【考點】分式有意義的條件.
【分析】根據分母為0分式無意義求得x的取值範圍.
【解答】解：根據題意2x﹣1=0，
解得x= .
故選：B.
【點評】本題主要考查分式無意義的條件是分母為0.
4.如圖，已知∠1=∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是*** ***
A.AB=AC B.BD=CD C.∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA
【考點】全等三角形的判定.
【專題】壓軸題.
【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS對各個選項逐一分析即可得出答案.
【解答】解：A、∵∠1=∠2，AD為公共邊，若AB=AC，則△ABD≌△ACD***SAS***;故A不符合題意;
B、∵∠1=∠2，AD為公共邊，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD;故B符合題意;
C、∵∠1=∠2，AD為公共邊，若∠B=∠C，則△ABD≌△ACD***AAS***;故C不符合題意;
D、∵∠1=∠2，AD為公共邊，若∠BDA=∠CDA，則△ABD≌△ACD***ASA***;故D不符合題意.
故選：B.
【點評】此題主要考查學生對全等三角形判定定理的理解和掌握，此題難度不大，屬於基礎題.
5.一次函式y=mx+|m﹣1|的圖象過點***0，2***，且y隨x的增大而增大，則m的值為*** ***
A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣1或3
【考點】一次函式的性質.
【分析】由***0，2***在一次函式圖象上，把x=0，y=2代入一次函式解析式得到關於m的方程，求出方程的解即可得到m的值.
【解答】解：∵一次函式y=mx+|m﹣1|的圖象過點***0，2***，
∴把x=0，y=2代入y=mx+|m﹣1|得：|m﹣1|=2，
解得：m=3或﹣1，
∵y隨x的增大而增大，
所以m>0，
所以m=3，
故選C;
【點評】此題考查了利用待定係數法求一次函式的解析式，此方法一般有四步：設，代，求，答，即根據函式的型別設出所求相應的解析式，把已知的點座標代入，確定出所設的係數，把求出的係數代入所設的解析式，得出函式的解析式.
6.甲、乙兩人沿相同的路線由A地到B地勻速前進，A，B兩地間的路程為20千米，他們前進的路程為s***單位：千米***，甲出發後的時間為t***單位：小時***，甲、乙前進的路程與時間的函式圖象如圖所示.根據圖象資訊，下列說法正確的是*** ***
A.甲的速度是4千米/小時 B.乙的速度是10千米/小時
C.甲比乙晚到B地3小時 D.乙比甲晚出發1小時
【考點】函式的圖象.
【分析】根據圖象可知，A，B兩地間的路程為20千米.甲比乙早出發1小時，但晚到2小時，從甲地到乙地，甲實際用4小時，乙實際用1小時，從而可求得甲、乙兩人的速度，由此資訊依次解答即可.
【解答】解：A、甲的速度：20÷4=5km/h，錯誤;
B、乙的速度：20÷***2﹣1***=20km/h，錯誤;
C、甲比乙晚到B地的時間：4﹣2=2h，錯誤;
D、乙比甲晚晚出發的時間為1h，正確;
故選D.
【點評】此題主要考查了函式的圖象，重點考查學生的讀圖獲取資訊的能力，要注意分析其中的“關鍵點”，還要善於分析各圖象的變化趨勢.
二、填空題***本大題共10小題，每小題2分，共20分.請將答案填寫在第3頁相應答題欄內，在卷Ⅰ上答題無效***
7.已知函式y=***n﹣2***x+n2﹣4是正比例函式，則n為 ﹣2 .
【考點】正比例函式的定義.
【分析】根據正比例函式：正比例函式y=kx的定義條件是：k為常數且k≠0，可得答案.
【解答】解：y=***n﹣2***x+n2﹣4是正比例函式，得
，
解得n=﹣2，n=2***不符合題意要捨去***.
故答案為：﹣2.
【點評】解題關鍵是掌握正比例函式的定義條件：正比例函式y=kx的定義條件是：k為常數且k≠0，自變數次數為1.
8.點C到x軸的距離為1，到y軸的距離為3，且在第三象限，則C點座標是 ***﹣3，﹣1*** .
【考點】點的座標.
【分析】根據到x軸的距離等於縱座標的長度，到y軸的距離等於橫座標的長度，第三象限的點的橫座標與縱座標都是負數解答.
【解答】解：∵點C到x軸的距離為1，到y軸的距離為3，且在第三象限，
∴點C的橫座標為﹣3，縱座標為﹣1，
∴點C的座標為***﹣3，﹣1***.
故答案為：***﹣3，﹣1***.
【點評】本題考查了點的座標，熟記四個象限的符號特點：第一象限***+，+***;第二象限***﹣，+***;第三象限***﹣，﹣***;第四象限***+，﹣***是解題的關鍵.
9.化簡： ﹣ = .
【考點】二次根式的加減法.
【分析】先把各根式化為最簡二次根式，再根據二次根式的減法進行計算即可.
【解答】解：原式=2 ﹣
= .
故答案為： .
【點評】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合併，合併方法為係數相加減，根式不變是解答此題的關鍵.
10.已知 ，則代數式 的值為 7 .
【考點】完全平方公式.
【專題】壓軸題.
【分析】根據完全平方公式把已知條件兩邊平方，然後整理即可求解.
【解答】解：∵x+ =3，
∴***x+ ***2=9，
即x2+2+ =9，
∴x2+ =9﹣2=7.
【點評】本題主要考查完全平方公式，根據題目特點，利用乘積二倍項不含字母是解題的關鍵.
11.在等腰△ABC中，AB=AC，其周長為20cm，則AB邊的取值範圍是 5
【考點】等腰三角形的性質;三角形三邊關係.
【分析】設AB=AC=x，則BC=20﹣2x，根據三角形的三邊關係即可得出結論.
【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周長為20cm，
∴設AB=AC=x cm，則BC=cm，
∴ ，
解得5cm< p="">
故答案為：5< p="">
【點評】本題考查的是等腰三角形的性質、解一元一次不等式組，熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此題的關鍵.
12.如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分線MN交AC於點D，則∠A的度數是 50° .
【考點】線段垂直平分線的性質;等腰三角形的性質.
【分析】根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AD=BD，根據等邊對等角可得∠A=∠ABD，然後表示出∠ABC，再根據等腰三角形兩底角相等可得∠C=∠ABC，然後根據三角形的內角和定理列出方程求解即可.
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°.
故答案為：50°.
【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，等腰三角形的性質，熟記性質並用∠A表示出△ABC的另兩個角，然後列出方程是解題的關鍵.
13.如圖，△ABC是等邊三角形，點D為AC邊上一點，以BD為邊作等邊△BDE，連線CE.若CD=1，CE=3，則BC= 4 .
【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質.
【分析】在CB上取一點G使得CG=CD，即可判定△CDG是等邊三角形，可得CD=DG=CG，易證∠BDG=∠EDC，即可證明△BDG≌△EDC，可得BG=CE，即可解題.
【解答】解：在CB上取一點G使得CG=CD，
∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，
∴△CDG是等邊三角形，
∴CD=DG=CG，
∵∠BDG+∠EDG=60°，∠EDC+∠EDG=60°，
∴∠BDG=∠EDC，
在△BDG和△EDC中，
，
∴△BDG≌△EDC***SAS***，
∴BG=CE，
∴BC=BG+CG=CE+CD=4，
故答案為：4.
【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了等邊三角形的判定和性質，本題中求證△BDG≌△EDC是解題的關鍵.
14.如圖，已知函式y=3x+b和y=ax﹣3的圖象交於點P***﹣2，﹣5***，則根據圖象可得不等式3x+b>ax﹣3的解集是 x>﹣2 .
【考點】一次函式與一元一次不等式.
【專題】數形結合.
【分析】函式y=3x+b和y=ax﹣3的圖象交於點P***﹣2，﹣5***，求不等式3x+b>ax﹣3的解集，就是看函式在什麼範圍內y=3x+b的圖象對應的點在函式y=ax﹣3的圖象上面.
【解答】解：從圖象得到，當x>﹣2時，y=3x+b的圖象對應的點在函式y=ax﹣3的圖象上面，
∴不等式3x+b>ax﹣3的解集為：x>﹣2.
故答案為：x>﹣2.
【點評】本題考查了一次函式與不等式***組***的關係及數形結合思想的應用.解決此類問題關鍵是仔細觀察圖形，注意幾個關鍵點***交點、原點等***，做到數形結合.
15.在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC邊上的高為12cm，則△ABC的面積為 126或66 cm2.
【考點】勾股定理.
【專題】壓軸題.
【分析】此題分兩種情況：∠B為銳角或∠B為鈍角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的長，利用三角形的面積公式得結果.
【解答】解：當∠B為銳角時***如圖1***，
在Rt△ABD中，
BD= = =5cm，
在Rt△ADC中，
CD= = =16cm，
∴BC=21，
∴S△ABC= = ×21×12=126cm2;
當∠B為鈍角時***如圖2***，
在Rt△ABD中，
BD= = =5cm，
在Rt△ADC中，
CD= = =16cm，
∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm，
∴S△ABC= = ×11×12=66cm2，
故答案為：126或66.
【點評】本題主要考查了勾股定理和三角形的面積公式，畫出圖形，分類討論是解答此題的關鍵.
16.當x分別取﹣ 、﹣ 、﹣ 、…、﹣ 、﹣2、﹣1、0、1、2、…、2015、2016、2017時，計算分式 的值，再將所得結果相加，其和等於 ﹣ .
【考點】分式的化簡求值.
【分析】 = =﹣ =﹣***1﹣ ***= ﹣1把x是分數的情況代入， = =1﹣ 把x是整數時代入，然後求值即可.
【解答】解： = =﹣ =﹣***1﹣ ***= ﹣1，
= =1﹣ ，
則當x=﹣ 、﹣ 、﹣ 、…、﹣ 時，代入後所得結果的和是【 ﹣1】+【 ﹣1】+…+【 ﹣1】= + +…+ ﹣2016，
x=﹣2、﹣1、0、1時，代入所得的式子的和是：【1﹣ 】+【1﹣ 】+【1﹣ 】+【1﹣ 】= +0﹣1﹣0=﹣ .
當x=2、…、2015、2016、2017時，代入所得結果的和是【1﹣ 】+…+【1﹣ 】+【1﹣ 】= +0+0﹣0﹣*** + +…+ + ***+2016=2016﹣*** + +…+ ***
則x分別取﹣ 、﹣ 、﹣ 、…、﹣ 、﹣2、﹣1、0、1、2、…、2015、2016、2017時，計算分式 的值，再將所得結果相加是﹣ .
故答案是：﹣ .
【點評】本題考查了分式的化簡求值，正確對x的值分別進行變形是解決本題的關鍵.
三、解答題***本大題共有9小題，共68分，解答時在試卷相應的位置上寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.***
17.計算： +|1+ |.
【考點】實數的運算;零指數冪;負整數指數冪.
【分析】利用負整數指數冪的性質以及零指數冪的性質和算術平方根的性質分別化簡進而得出答案.
【解答】解：原式=2 +2﹣1+1+
=3 +2.
【點評】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵.
18.解方程： =1+ .
【考點】解分式方程.
【分析】先把分式方程化為整式方程，求出x的值，代入最簡公分母進行檢驗即可.
【解答】解：方程兩邊同乘x***x﹣1***，得：x2=x***x﹣1***+2***x﹣1***，
解這個整式方程，得：x=2.
檢驗：當x=2時，x***x﹣1***≠0，
故原方程的解是x=2.
【點評】本題考查的是解分式方程，在解答此類問題時要注意驗根.
19.如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1.
***1***圖1中已知線段AB、CD，畫線段EF，使它與AB、CD組成軸對稱圖形***要求：畫出一個即可***;
***2***在圖2中畫出一個以格點為端點長為 的線段.
【考點】利用軸對稱設計圖案;勾股定理.
【分析】***1***根據軸對稱圖形的定義：把一個圖形沿某條直線對摺，直線兩旁的部分能完全重合，那麼這個圖形是軸對稱圖形畫圖即可;
***2***根據勾股定理可得：直角邊長為2和3的直角三角形斜邊長為 ，由此可作出長為 的線段.
【解答】解：***1***如圖1所示，EF即為所求;
***2***如圖2所示，線段MN= .
【點評】此題主要考查了勾股定理的應用和利用軸對稱設計圖案，關鍵是掌握軸對稱圖形的定義和勾股定理.
20.已知：y﹣3與x成正比例，且當x=﹣2時，y的值為7.
***1***求y與x之間的函式關係式;
***2***若點***﹣2，m***、點***4，n***是該函式圖象上的兩點，試比較m、n的大小，並說明理由.
【考點】待定係數法求一次函式解析式;一次函式圖象上點的座標特徵.
【分析】***1***利用待定係數法，設函式為y﹣3=kx，再把x=﹣2，y=7代入求解即可.
***2***根據函式是降函式即可判斷.
【解答】解：***1***∵y﹣3與x成正比例，
∴y﹣3=kx，
∵當x=﹣2時，y=7，
∴k=﹣2，
∴y﹣3=﹣2x，
∴y與x的函式關係式是：y=﹣2x+3.
***2***∵y與x的函式關係式是：y=﹣2x+3，
∴該函式是降函式，
∵﹣2<4，
∴m>n.
【點評】此題考查利用待定係數法求函式解析式，一次函式圖象上點的座標特徵，正確利用正比例函式的特點以及一次函式的增減性是本題的關鍵.
21.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點，CE⊥AD於E，BF∥AC交CE的延長線於F.
***1***求證：△ACD≌△CBF;
***2***求證：AB垂直平分DF.
【考點】全等三角形的判定與性質;線段垂直平分線的性質.
【專題】計算題.
【分析】***1***根據∠ACB=90°，求證∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，求證∠ACB=∠CBF=90°，然後利用ASA即可證明△ACD≌△CBF.
***2***先根據ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根據角度之間的數量關係求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質求證即可.
【解答】解：***1***∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵CE⊥AD，
∴∠CAD=∠BCF，
∵BF∥AC，
∴∠FBA=∠CAB=45°
∴∠ACB=∠CBF=90°，
在△ACD與△CBF中，
∵ ，
∴△ACD≌△CBF;
***2***證明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE.
∵AC⊥BC，BF∥AC.
∴BF⊥BC.
∴∠ACD=∠CBF=90°，
在△ACD與△CBF中，
∵ ，
∴△ACD≌△CBF，
∴CD=BF.
∵CD=BD= BC，
∴BF=BD.
∴△BFD為等腰直角三角形.
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°.
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°.
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線.
∴BA是FD邊上的高線，BA又是邊FD的中線，
即AB垂直平分DF.
【點評】本題主要考查了三角形全等的判定和角平分線的定義以及線段的垂直平分線的性質等幾何知識.要注意的是：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等.
22.先化簡，再求值：*** ﹣ ***÷ ，其中x= .
【考點】分式的化簡求值.
【專題】計算題.
【分析】原式括號中利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值.
【解答】解：原式= • = • = ，
當x= 時，原式= .
【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運演算法則是解本題的關鍵.
23.如圖所示，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形拼成，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，請你利用這個圖形解決下列問題：
***1***證明勾股定理;
***2***說明a2+b2≥2ab及其等號成立的條件.
【考點】勾股定理的證明.
【分析】***1***根據題意，我們可在圖中找等量關係，由中間的小正方形的面積等於大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表示式.
***2***利用非負數的性質證明即可.
【解答】解：***1***∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為 ab，小正方形面積為：***b﹣a***2，
∴c2=4× ab+***a﹣b***2=2ab+a2﹣2ab+b2
即c2=a2+b2.
***2***∵***a﹣b***2≥0，
∴a2﹣2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
當且僅當a=b時，等號成立.
【點評】本題考查了對勾股定理的證明和以及非負數的性質，掌握三角形和正方形面積計算公式是解決問題的關鍵.
24.已知直線l1：y=﹣ 與直線l2：y=kx﹣ 交於x軸上的同一個點A，直線l1與y軸交於點B，直線l2與y軸的交點為C.
***1***求k的值，並作出直線l2圖象;
***2***若點P是線段AB上的點且△ACP的面積為15，求點P的座標;
***3***若點M、N分別是x軸上、線段AC上的動點***點M不與點O重合***，是否存在點M、N，使得△ANM≌△AOC?若存在，請求出N點的座標;若不存在，請說明理由.
【考點】一次函式綜合題.
【專題】計算題;綜合題;一次函式及其應用.
【分析】***1***對於直線l1，令y=0求出x的值，確定出A座標，代入直線l2求出k的值，作出直線l2圖象即可;
***2***設P***a，b***，△ACP面積=△ABC面積﹣△BPC面積，根據已知三角形ACP面積求出a的值，進而求出b的值，確定出P座標即可;
***3***如圖2，作ND⊥x軸於D，利用勾股定理求出AC的長，由△ANM≌△AOC，得到對應邊相等，表示出AM，AN，MN，確定出△AMN為直角三角形，利用面積法求出ND的長，確定出N縱座標，進而求出橫座標，確定出N座標即可.
【解答】解：***1***∵直線l1：y=﹣ x+3與x軸交於點A，
∴令y=0時，x=4，即A***4，0***，
將A***4，0***代入直線l2：y=kx﹣ ，得k= ，
直線l2圖象如圖1所示;
***2***設P***a，b***，
根據題意得：S△ACP=S△ABC﹣S△PBC= ×***3+ ***×4﹣ ×***3+ ***a=15，
解得：a= ，
將P*** ，b***代入直線l1得：b= ×***﹣ ***+3=﹣ +3= ，
∴點P的座標*** ， ***;
***3***如圖2，作ND⊥x軸於D，
∵AC= = ，△ANM≌△AOC，
∴AM=AC= ，AN=AO=4，MN=OC= ，∠ANM=∠AOC=90°，
∵S△AMN= AM•ND= AN•MN，
∴ND= = = ，
將N的縱座標y=﹣ 代入直線l2得：x= ，
∴當N的縱座標為*** ，﹣ ***時，△ANM≌△AOC.
【點評】此題屬於一次函式綜合題，涉及的知識有：一次函式與座標軸的交點，全等三角形的性質，勾股定理，三角形面積，以及座標與圖形性質，熟練掌握一次函式的性質是解本題的關鍵.
25.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM= ∠ABC，點D是直線BC上的動點，過點D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC於F.
***1***如圖1所示，當點D與點B重合時，延長BA，CM交點N，證明：DF=2EC;
***2***當點D在直線BC上運動時，DF和EC是否始終保持上述數量關係呢?請你在圖2中畫出點D運動到CB延長線上某一點時的圖形，並證明此時DF與EC的數量關係.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】***1***延長BA，CM交點N，先證明BC=BN，得出CN=2CE，再證明△BAF≌△CAN，得出對應邊相等BF=CN，即可得出結論;
***2***作∠PDE=22.5，交CE的延長線於P點，交CA的延長線於N，先證明PD=CD，得出PC=2CE，再證明△DNF≌△PNC，得出對應邊相等DF=PC，即可得出結論.
【解答】解：***1***如圖***1***，延長BA，CM交點N，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM= ∠ABC=22.5°，
∴∠BCM=67.5°，
∴∠BNC=67.5°=∠BCM，
∴BC=BN，
∵BE⊥CE，
∴∠ABE=22.5°，CN=2CE，
∴∠ABE=∠ACM=22.5°，
在△BAF和△CAN中， ，
∴△BAF≌△CAN***ASA***，
∴BF=CN，
∴BF=2CE;
***2***保持上述關係;BF=2CE;
證明如下：
作∠PDE=22.5，交CE的延長線於P點，交CA的延長線於N，
如圖***2***所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，
∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
∴∠DPC=67.5°，
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
在△DNF和△PNC中， ，
∴△DNF≌△PNC***ASA***，
∴DF=PC，
∴DF=2CE.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及等腰三角形的判定與性質;通過作輔助線證明等腰三角形和全等三角形是解決問題的關鍵.
八年級上數學期末考試