冪函式是什麼意思有什麼特性及性質

　　一般地以底數為自變數，冪為因變數，指數為常數的函式稱為冪函式。那麼你對冪函數了解多少呢?以下是由小編整理關於什麼是冪函式，希望大家喜歡!

　　冪函式的介紹

　　例如函式y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1***注：y=x-1=1/x y=x0時x≠0***等都是冪函式。當α取非零的有理數時是比較容易理解的，而對於α取無理數時，初學者則不大容易理解了。因此，在初等函式裡，我們不要求掌握指數為無理數的問題，只需接受它作為一個已知事實即可，因為這涉及到實數連續性的極為深刻的知識。

　　冪函式的性質

　　冪函式的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至於是否出現在第二、三象限內，要看函式的奇偶性;冪函式的圖象最多隻能同時出現在兩個象限內;如果冪函式圖象與座標軸相交，則交點一定是原點.

　　取正值

　　當α>0時，冪函式y=xα有下列性質：

　　a、影象都經過點***1,1******0,0***;

　　b、函式的影象在區間[0,+∞***上是增函式;

　　c、在第一象限內，α>1時，導數值逐漸增大;α=1時，導數為常數;0<α<1時，導數值逐漸減小，趨近於0;

　　取負值

　　當α<0時，冪函式y=xα有下列性質：

　　a、影象都通過點***1,1***;

　　b、影象在區間***0，+∞***上是減函式;***內容補充：若為X-2，易得到其為偶函式。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其影象在區間***-∞，0***上單調遞增。其餘偶函式亦是如此***

　　c、在第一象限內，有兩條漸近線***即座標軸***，自變數趨近0，函式值趨近+∞，自變數趨近+∞，函式值趨近0。

　　取零

　　當α=0時，冪函式y=xa有下列性質：

　　a、y=x0的影象是直線y=1去掉一點***0,1***。它的影象不是直線。***x=0時，函式值沒意義***

　　冪函式的特性

　　對於α的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　首先我們知道如果α=p/q，且p/q為既約分數***即p，q互質***，q和p都是整數，則x^***p/q***=q次根號下***x的p次方***，如果q是奇數，函式的定義域是R，如果q是偶數，函式的定義域是[0,+∞***。當指數α是負整數時，設α=-k，則y=1/***x^k***，顯然x≠0，函式的定義域是***-∞，0***∪***0,+∞***。因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麼我們就可以知道：

　　α小於0時，x不等於0;

　　α的分母為偶數時，x不小於0;

　　α的分母為奇數時，x取R。

　　冪函式的定義域和值域

　　冪函式的一般形式是y=xⁿ，其中，n可為任何實數，但中學階段僅研究n為有理數的情形，這時可表示為y=x^***m/k***，其中m∈Z，k∈N*，且m，k互質。特別，當k=1時為整數指數冪。

　　***1***當m，k都為正奇數時，如y=x，y=x³，y=x^***3/5***等，定義域、值域均為R，為奇函式;

　　***2***當m為負奇數，k為正奇數時，如y=x^***-1***=1/x，y=x^***-3***=1/x³，y=x^***-3/5***等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是***-∞，0***∪***0，+∞***，為奇函式;

　　***3***當m為正奇數，k為正偶數時，如y=x^***1/2***，y=x^***3/4***等，定義域、值域均為[0，+∞***，為非奇非偶函式;

　　***4***當m為負奇數，k為正偶數時，如y=x^***-1/2***，y=x^***-3/4***等，定義域、值域均為***0，+∞***，為非奇非偶函式;

　　***5***當m為正偶數，k為正奇數時，如y=x²，y=x^***2/3***等，定義域為R、值域為[0，+∞***，為偶函式;

　　***6***當m為負偶數，k為正奇數時，如y=x^***-2***=1/x²，y=x^***-2/3***等，定義域為{x∈R|x≠0}，也就是***-∞，0***∪***0，+∞***，值域為***0，+∞***，為偶函式。

　　冪函式的特殊情況

　　由於x大於0是對α的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函式在各象限的各自情況。可以看到：

　　***1***所有的影象都通過***1，1***這點.***α≠0*** α>0時 圖象過點***

　　特殊性***2***：冪函式的單調區間

　　特殊性***2***：冪函式的單調區間

　　0，0***和***1，1***。

　　***2***單調區間：

　　當α為整數時，α的正負性和奇偶性決定了函式的單調性：

　　①當α為正奇數時，影象在定義域為R內單調遞增;

　　②當α為正偶數時，影象在定義域為第二象限內單調遞減，在第一象限內單調遞增;

　　③當α為負奇數時，影象在第一三象限各象限內單調遞減***但不能

　　冪函式的單調區間***當a為分數時***

　　冪函式的單調區間***當a為分數時***

　　說在定義域R內單調遞減***;

　　④當α為負偶數時，影象在第二象限上單調遞增，在第一象限內單調遞減。

　　當α為分數時，α的正負性和分母的奇偶性決定了函式的單調性：

　　①當α>0，分母為偶數時，函式在第一象限內單調遞增;

　　②當α>0，分母為奇數時，函式在第一、三象限各象限內單調遞增;

　　③當α<0，分母為偶數時，函式在第一象限內單調遞減;

　　④當α<0，分母為奇數時，函式在第一、三象限各象限內單調遞減***但不能說在定義域R內單調遞減***;

　　***3***當α>1時，冪函式圖形下凹***豎拋***;

　　當0<α<1時，冪函式圖形上凸***橫拋***。

　　當α<0時，影象為雙曲線。

　　***4***在***0,1***上，冪函式中α越大，函式影象越靠近x軸;在***1，﹢∞***上冪函式中α越大，函式影象越遠離x軸。

　　***5***當α<0時，α越小，圖形傾斜程度越大。

　　***6***顯然冪函式無界限。

　　***7***α=2n***n為整數***,該函式為偶函式 {x|x≠0}。

冪函式的特性