如何判定四點共圓?

General 更新 2023年10月15日

四點共圓的判定和性質

四點共圓的定義：如果同一平面內的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”證明四點共圓有下述一些基本方法：

方法1 從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然後證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓．

方法2 把被證共圓的四點連成共底邊的兩個三角形，若能證明其兩頂角為直角，從而即可肯定這四個點共圓．

方法3 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．

方法4 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等於其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

方法5 把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結並延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等於自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．

方法6 證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．

上述六種基本方法中的每一種的根據，就是產生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據命題的條件，並結合圖形的特點，在這六種基本方法中選擇一種證法，給予證明．

判定與性質：

圓內接四邊形的對角和為180度,並且任何一個外角都等於它的內對角。

如四邊形ABCD內接於圓O，延長AB至E，AC、BD交於P，則A+C=180度，B+D=180度，

角ABC=角ADC（同弧所對的圓周角相等）。

角CBE=角D（外角等於內對角）

△ABP∽△DCP（三個內角對應相等）

AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）

對角和互補

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