什麼是正定對稱矩陣?
正定矩陣一定是對稱矩陣嗎？
線性代數範圍內是的
這是因為矩陣的正定來自於二次型的正定
而二次型的矩陣都是對稱矩陣
丹以正定矩陣是對稱矩陣
正定矩陣為什麼是對稱矩陣？各位大蝦，能詳細說明一下麼！
呵呵 電燈學的比較深, 太專業了, 反而把簡單的搞複雜了!
線性代數範圍內, 正定矩陣的前提就是對稱的
因為正定矩陣的定義來源於正定二次型, 而二次型的矩陣是對稱矩陣
怎樣判定一個對稱矩陣是否為正定
按照正定矩陣的定義，
所有特徵值都大於零的對稱矩陣就是正定矩陣，
那麼就計算出此對稱矩陣的特徵值，
都大於0即可
正定矩陣是否必為實對稱陣
是的。
你回去看書，正定矩陣的定義是建立在對稱矩陣的基礎上的：
對稱矩陣A對任意非零向量x，滿足x'Ax>0，則定義A正定。
然後對稱矩陣是實矩陣的時候，滿足上邊定義我們叫他“正定矩陣”
A=A’是復矩陣的時候，滿足x'Ax>0(這裡的打撇代表共軛轉置，共軛用電腦不好打)，叫做“正規矩陣”。
可見大學階段提到正定陣，都是實對稱的。
正定矩陣一定是對稱矩陣麼
對的。因為就是在對稱矩陣的範圍內討論一個矩陣是不是正定的。
什麼叫正定矩陣
正定矩陣
設M是n階實係數對稱矩陣， 如果對任何非零向量 X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就稱M正定(Positive Definite)。 正定矩陣在相合變換下可化為標準型， 即單位矩陣。 所有特徵值大於零的對稱矩陣（或厄米矩陣）也是正定矩陣。 另一種定義：一種實對稱矩陣.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩陣A(A′)稱為正定矩陣. 判定定理1：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的特徵值全為正。 判定定理2：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的各階主子式都為正。 判定定理3：任意陣A為正定的充分必要條件是：A合同於單位陣。
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什麼是矩陣的正定和負定？
一． 定義
因為正定二次型與正定矩陣有密切的聯繫，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型:
設有二次型 ,如果對任何x 0都有f(x)>0( 0) ，則稱f(x) 為正定（半正定）二次型。
相應的，正定（半正定）矩陣和負定（半負定）矩陣的定義為：
令A為 階對稱矩陣，若對任意n 維向量 x 0都有 ＞0(≥0)則稱A正定（半正定）矩陣；反之，令A為n 階對稱矩陣，若對任意 n 維向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 則稱A負定（半負定）矩陣。
例如，單位矩陣E 就是正定矩陣。
二． 正定矩陣的一些判別方法
由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法：
1.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個特徵值全是正數。
證明：若 ， 則有
∴λ＞0
反之，必存在U使
即
有
這就證明了A正定。
由上面的判別正定性的方法，不難得到A為半正定矩陣的充要條件是：A的特徵值全部非負。
2．n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同於單位矩陣E。
證明：A正定
二次型 正定
A的正慣性指數為n
3．n階對稱矩陣A正定（半正定）的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣U使 ；進一步有 （B為正定（半正定）矩陣）。
證明：n階對稱矩陣A正定，則存在可逆矩陣U使
令 則
令 則
反之，
∴A正定。
同理可證A為半正定時的情況。
4．n階對稱矩陣A正定，則A的主對角線元素 ，且 。
證明：（1）∵n階對稱矩陣A正定
∴ 是正定二次型
現取一組不全為0 的數0,…,0,1,0…0(其中第I個數為1)代入，有
∴
∴A正定
∴存在可逆矩陣C ，使
5．n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是：A的 n 個順序主子式全大於零。
證明：必要性：
設二次型 是正定的
對每個k,k=1,2,…,n,令
，
現證 是一個k元二次型。
∵對任意k個不全為零的實數 ，有
∴ 是正定的
∴ 的矩陣
是正定矩陣
即
即A的順序主子式全大於零。
充分性：
對n作數學歸納法
當n=1時，
∵ ， 顯然 是正定的。
假設對n-1元實二次型結論成立，現在證明n元的情形。
令丹， ，
∴A可分塊寫成
∵A的順序主子式全大於零
∴ 的順序主子式也全大於零
由歸納假設， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣Q使
令
∴
再令 ，
有
令 ，
就有
兩邊取行列式，則
由條件 得a＞0
顯然
即A合同於E ，
∴A是正定的。
三． 負定矩陣的一些判別方法
1．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的負慣性指數為n。
2．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的特徵值全小於零。
3．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的順序主子式 滿足
，
即奇數階順序主子式全小於零，偶數階順序主子式全大於零。
由於A是負定的當且僅當-A是正定的，所以上敘結論不難從正定性的有關結論直接得出，故證明略。
四．半正定矩陣的一些判別方法
1． n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數等於它的秩。
2． n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特徵值全大於等於零，但至少有一個特徵值等於零。
3． n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大於等於零，但至少有一個主子式等於零。
注：3中指......