因式分解應用?

General 更新 2023年10月15日

因式分解在中學數學中有哪些應用

把一個多項式在一個範圍(如有理數範圍內分解,即所有項均為有理數)化為幾個最簡整式的積的形式,這種變形叫做因式分解,也叫作分解因式。在數學求根作圖方面有很廣泛的應用。 分解步驟: ①如果多項式的各項有公因式,那麼先提公因式; ②如果各...

一道因式分解應用題!

求因式分解的所有方法和技巧

因式分解

因式分解(factorization)

因式分解是中學數學中最重要的恆等變形之一,它被廣泛地應用於初等數學之中,是我們解決許多數學問題的有力工具.因式分解方法靈活,技巧性強,學習這些方法與技巧,不僅是掌握因式分解內容所必需的,而且對於培養學生的解題技能,發展學生的思維能力,都有著十分獨特的作用.初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法.而在競賽上,又有拆項和添項法,待定係數法,雙十字相乘法,輪換對稱法等.

⑴提公因式法

①公因式:各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的~.

②提公因式法:一般地,如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括號外面,將多項式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

am+bm+cm=m(a+b+c)

③具體方法:當各項係數都是整數時,公因式的係數應取各項係數的最大公約數;字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的,一般要提出“-”號,使括號內的第一項的係數是正的.

⑵運用公式法

①平方差公式:. a^2-b^2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式: a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.

③立方和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式:a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)

⑶分組分解法

分組分解法:把一個多項式分組後,再進行分解因式的方法.

分組分解法必須有明確目的,即分組後,可以直接提公因式或運用公式.

⑷拆項、補項法

拆項、補項法:把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項),使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解;要注意,必須在與原多項式相等的原則進行變形.

⑸十字相乘法

①x^2+(p q)x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是:二次項的係數是1;常數項是兩個數的積;一次項係數是常數項的兩個因數的和.因此,可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解: x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q)

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果能夠分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 時,那麼

kx^2+mx+n=(ax b)(cx d)

a \-----/b ac=k bd=n

c /-----\d ad+bc=m

※ 多項式因式分解的一般步驟:

①如果多項式的各項有公因式,那麼先提公因式;

②如果各項沒有公因式,那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;

③如果用上述方法不能分解,那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解;

④分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.

(6)應用因式定理:如果f(a)=0,則f(x)必含有因式(x-a)。如f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,則可確定(x+2)是x^......

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