到底什麼是正交變換?

General 更新 2023年10月15日

什麼叫正交變換？為什麼要正交變換

正交變換是保持圖形形狀和大小不變的幾何變換，包含旋轉，軸對稱及上述變換的複合。定義：n級實矩陣A稱為正交矩陣，如果A'A=E。(A'表示A的轉置，E是單位矩陣)

用正交變換,具有保持幾何形狀不變的優點!

分類

設A是n維歐式空間V的一個正交變換σ在一組標準正交基下的矩陣

若丨A丨=1，則稱σ為第一類正交變換，

若丨A丨=-1，則稱σ為第二類正交變換。

等價刻畫

設σ是n維歐式空間V的一個線性變換，於是下面4個命題等價

1.σ是正交變換

2.σ保持向量長度不變，即對於任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨

3.如果ε_1,ε_2,...,ε_n是標準正交基，那麼σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是標準正交基

4.σ在任意一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣

什麼是正交變換

設M是對稱矩陣， P是丁交矩陣， N=P^tMP 稱為 M的正交變換。

（正交矩陣的定義為：P.P^t = E）

正交變換既是相似變換，也是相合變換。正交變換不改變M的特徵值。

這種矩陣元又被稱為簡正座標.用質量加權座標表示的分子內部運動的動能,用質量加權座標表示的分子內部勢能,由力常數的數學表達式可以知道fij = fji因而矩陣為一個正交變換通過酉變換可以把矩陣變形成為對角矩陣的形式：。則有：它的每一個矩陣元都是分子所有質量加權座標的線性組合，總的矩陣元的數量恰巧等於質量加權座標的個數，這些矩陣元就被稱作簡正座標,而這些變換中分子的勢能不變,所以正交變換又稱為酉變換.

所謂正交是指【X ，Y】=0 其中X，Y均為向量；而正交矩陣是指：矩陣A具有如A^tA=E（其中E為單位矩陣）性質，則稱A為正交矩陣。所以矩陣的正交變換既是指：若P為正交矩陣，則線性變換y=Px稱為正交變換。

歐幾里得空間內正交變換的定義：設V為歐式空間，σ是V上的線性變換，若對於任何α∈V，都有▏σ（α）▏=▏α ▏，則稱σ是V上的正交變換。

·什麼是正交變換？

這裡寫公式不太方便，我給您座成了圖片了，您看看，希望對您有所幫助。hi.baidu.com/...8.html

為什麼正交變換又叫做酉變換

正交變換最初來自於維基百科,這種矩陣元被稱為簡正座標.用質量加權座標表示的分子內部運動的動能,用質量加權座標表示的分子內部勢能,用質量加權座標表示的分子內部勢能,由力常數的數學表達式可以知道fij = fji因而矩陣為一個正交變換通過酉變換可以把膽陣變形成為對角矩陣的形式：。則有：它的每一個矩陣元都是分子所有質量加權座標的線性組合，總的矩陣元的數量恰巧等於質量加權座標的個數，這些矩陣元就被稱作簡正座標,而這些變換中分子的勢能不變,所以正交變換又稱為酉變換.

參考資料：維基百科，自由的百科全書

圖像處理中的各類正交變換分別有什麼特點

正交變換是信號處理中最重要的一類變換。在數字圖像處理中有兩類主要方法,一個是在空間域處理的方法,一個是在變換域處理的方法。目前,在數字圖像處理中,正交變換因其獨特的性質廣泛運用於圖像特徵提取、圖像增強、圖像復原、圖像識別及圖像編碼等處理中。只要給定了變換核函數或變換矩陣就可以得到標準基圖像。有了標準基圖像,就可以更直觀地將正交變換理解為對原始圖像在諸多標準基圖像上的分解。通過對權值矩陣的處理即變換域處理,達到圖像處理的目的,得到新的權值矩陣再反變換得到處理後的圖像。實際上可以把標準基圖像作為一個抽象概念應用到所有的二維正交變換中。

正交變換的分類

設A是n維歐式空間V的一個正交變換σ在一組標準正交基下的矩陣若丨A丨=1，則稱σ為第一類正交變換，若丨A丨=-1，則稱σ為第二類正交變換。