群論群應滿足哪些條件?
群論,商群的概念是什麼？有什麼用？
在數學和抽象代數中，群論研究名為群的代數結構。群在抽象代數中具有基本的重要地位：許多代數結構，包括環、域和模等可以看作是在群的基礎上添加新的運算和公理而形成的。群的概念在數學的許多分支都有出現，而且群論的研究方法也對抽象代數的其它分支有重要影響。群論的重要性還體現在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結構，如晶體結構和氫原子結構可以用群論方法來進行建模。於是群論和相關的群表示論在物理學和化學中有大量的應用。
中文名
群論
外文名
Group Theory
基本概念
群的定義
設 是一個非空集合， 是它的一個二元運算，如果滿足以下條件：
(1) 封閉性：若 ，則存在唯一確定的 使得 ；
(2) 結合律成立，即對 中任意元素 都有 ；
(3) 單位元存在：存在 ，對任意 ，滿足 。 稱為單位元，也稱么元；
(4) 逆元存在：任意 ，存在 ， （ 為單位元），則稱 與 互為逆元素，簡稱逆元。 記作 ；
則稱 對 構成一個群。
通常稱 上的二元運算 為“乘法”，稱 為 與 的積，並簡寫為 。
若群 中元素個數是有限的，則 稱為有限群。否則稱為無限群。有限群的元素個數稱為有限群的階。
定義運算
對於 ，對於 的子集 ，定義 ，簡寫為 ； ，簡寫為 。
對於 的子集 , ，定義 ，簡寫為 。
對於 的子集 ，記 。
群的替換定理
若
是群，則對於任一 ， 。
子群
若 是群， 是 的非空子集並且 也是群，那麼稱 為 的子群。
這條定理可以判定 的子集是否為一個子群：
且 是 的子群
歷史
群論是法國數學家伽羅瓦（Galois）的發明。
伽羅瓦
他用該理論，具體來說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題。在此之前柯西（Augustin-Louis Cauchy)，阿貝爾（Niels Henrik Abel）等人也對群論作出了貢獻。
最先產生的是n個文字的一些置換所構成的置換群，它是在研究當時代數學的中心問題即五次以上的一元多項式方程是否可用根式求解的問題時，經由J.-L.拉格朗日、P.魯菲尼、N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦引入和發展，並有成效地用它徹底解決了這個中心問題。某個數域上一元n次多項式方程，它的根之間的某些置換所構成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群，1832年伽羅瓦證明了：一元 n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為“可解群”（見有限群）。由於一般的一元n次方程的伽羅瓦群是n個文字的對稱群Sn，而當n≥5時Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽羅瓦還引入了置換群的同構、正規子群等重要概念。應當指出，A.-L.柯西早在1815年就發表了有關置換群的第一篇論文，並在1844～1846年間對置換群又做了很多工作。至於置換群的系統知識和伽羅瓦用於方程理論的研究，由於伽羅瓦的原稿是他在決鬥致死前夕趕寫成的，直到後來才在C.若爾當的名著“置換和代數方程專論”中得到很好的介紹和進一步的發展。置換群是最終產生和形成抽象群的第一個最主要的來源。
在數論中，拉格朗日和C.F.高斯研究過由具有同一判別式D的二次型類，即f=ax^2+2bxy+cy^2，其中a、b、с為整數，x、y 取整數值，且D=b^2-aс為固定值，對於兩個型的"複合"乘法，構成一個交換群。J.W.R.戴德金於1858年和L.克羅內克於1870年在其代數數論的研究中也引進了有限交換群以至有限群。這些是導......
群論有什麼用啊？
我們知道群論是數學的一個重要分支，它在很多學科都有重要的應用，例如在物理中的應用，群論是量子力學的基礎。本課程的目的是為了使學生對群論的基本理論有感性的認識和理性的瞭解。本課程介紹群論的基本理論及某些應用。 主要內容有：首先介紹群、子群、 群同構的概念及有關性質，這是瞭解群的第一步。然後較為詳細地討論了兩類最常見的群：循環群與置換群，包括一些例題和練習，可以熟悉群的運算和性質， 加深對群的理解。並且介紹置換群的某些應用。
然後對群論中某些重要的概念作專題討論。首先定義並討論群的子集的運算；由群的子集的運算，引出並討論了子群的陪集的概念與性質。定義並討論了正規子群與商群的概念與性質。藉助於商群的概念證明了群同態基本定理， 從而對群的同態象作出了系統的描述。這部分內容是群論中最基本的內容，是任何一個希望學習群論的讀者所必須掌握的。並且給出群的直積的概念，這是研究群的結構不可缺少的工具。
最後是群表示論的基本理論及應用，包括矢量空間與函數空間，矩陣的秩與直積，不變子空間與可約表示、shur 引理、正交理論、特徵標、正規函數、基函數、表示的直積等的概念。
在群的表示理論之後，就是它在量子力學中的應用，例如從群論的角度解決一些量子力學問題，主要包括哈密頓算符的對稱性，距陣元定理和選擇定則。從而達到了解群論的基礎知識以及有限群的表示理論，為群論在物理學中的應用打下基礎的目的。
Group theory is one of the great simplifying and unifying ideas in modern mathematics, and it has important applications in many scientific fields. For example, group theory is the ground of Quantum Mechanics. It was introduced in order to understand the solutions to polynomial equations, but only in the last one hundred years has its full significance, as a mathematical formulation of symmetry, been understood. It plays a role in our understanding of fundamental particles, the structure of crystal lattices and the geometry of molecules. In this unit we will study the simple axioms satisfied by groups and begin to develop basic group theory in an axiomatic way. The aim of the course is to introduce students to the concept of groups, the notion of an axiomatic system through the example of group theory, to investigate elementary properties of groups, to illustrate these with a......
群論的群的例子
全體整數的加法構成一個群：最常見的群之一是整數集，它由以下數組成：..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,...下列整數加法的性質，可以作為抽象的群公理的模型。 對於任何兩個整數a和b，它們的和a+b也是整數。換句話說，在任何時候，把兩個整數相加都能得出整數的結果。這個性質叫做在加法下封閉。 對於任何整數a,b和c，(a+b) +c=a+（b+c）。用話語來表達，先把a加到b，然後把它們的和加到c，所得到的結果與把a加到b與c的和是相等的。這個性質叫做結合律。 如果a是任何整數，那麼0 +a=a+ 0 =a。零叫做加法的單位元，因為把它加到任何整數都得到相同的整數。 對於任何整數a，存在另一個整數b使得a+b=b+a= 0。整數b叫做整數a的逆元，記為−a。 全體非零實數的乘法構成一個群對三個互不相同的有序對象的6種不同順序間的改變（包括不變的情況）構成一個六階的群（這是一個有限的置換群的例子），它由此被標記為S3
群論中加群的證明，需要證明哪些性質？
就是群的四條公理啊，封閉性，結合律，單位元和逆元。。
群論的問題
=>
對任何a屬於KH，一定存在k屬於K，h屬於H，使得kh=a
於是h^(-1)k^(-1)屬於HK
因為HK是G的子群
所以(h^(-1)k^(-1))^(-1)屬於HK
而(h^(-1)k^(-1))^(-1)=kh=a
所以a屬於HK
所以KH是HK的子集
反之，對任何b屬於HK，一定存在h屬於H，k屬於K，使得hk=b
因為HK是G的子群
所以k^(-1)h^(-1)也屬於HK
於是必存在h1屬於H，k1屬於K，使得k^(-1)h^(-1)=h1k1
於是兩邊取逆，得：hk=k1^(-1)h1^(-1)
弗k1^(-1)h1^(-1)屬於KH
所以b=hk屬於KH
所以HK是KH的子集
於是HK=KH
<=
顯然HK是G的子集。
對任何a、b屬於HK
一定存在h1、h2屬於H，k1、k2屬於K，使得a=h1k1、b=h2k2
於是a*b^(-1)=h1k1k2^(-1)h2^(-1)
因為KH=HK，又k1k2^(-1)h2^(-1)屬於KH
所以一定存在k屬於K，h屬於H，使得k1k2^(-1)h2^(-1)=hk
於是a*b^(-1)=h1hk屬於HK
所以HK是G的子群。
在群論中order什麼意思
一般譯成“階”。 一個群 G 的order 就是它的勢（或叫基數）記作|G| .
G 的一個元素 g 的order 指 g 生成的（G的循環）子群的階 ，記作 o(g) , ord(g) 或者 |g|.
也就是說
o(g) = |
o(g) 等於 使 g^n=1 的最小的正整數n , 但當這樣的n 不存在時記 o紶g) = ∞.
希望能對您有所幫助。