三角形中線有什麼作用?

General 更新 2023年10月15日

數學中線的作用

平分對邊，在三角形中，中線除了可以平分對邊之外還可以把三角形分成面積相等的兩部分。

三角形的高，中線，角平分線各有什麼作用

三角形的高：計算面積，得到直角三角形運用互餘計算角、證明角相等、運用勾股定理和三角函數計算邊長……

三角形的中線：得到邊中點及三角形面積相等……

三角形的角平分線：得到角相等，運用角平分線定理……

三角形都有什麼線？他們有什麼性質？

中線，高，角平分線

中線定義

三角形中，連接一個頂點和它所對邊的中點的線段叫做三角形的中線。

任何三角形都有三條中線，而且這三條中線都在三角形的內部，並交於一點

由定義可知，三角形的中線是一條線段。

由於三角形有三條邊，所以一個三角形有三條中線。

且三條中線交於一點。這點稱為三角形的重心。

每條三角形中線分得的兩個三角形面積相等。

三角形中線定理性質

設⊿ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c．

1、三角形的三條中線都在三角形內。

2、三角形的三條中線長：ma=(1/2)√2b²+2c²-a² ；

mb=(1/2)√2c²+2a²-b² ；mc=(1/2)√2a²+2b²-c² 。

(ma,mb,mc分別為角A,B,C所對的中線長）

3、三角形的三條中線交於一點，該點叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。

5.三角形中線組成的三角形面積等於這個三角形面積的3/4.

三角形中線定理中線定理

中線定理（pappus定理），又稱阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關係。

定理內容：三角形一條中線兩側所對邊平方和等於底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。

即，對任意三角形△ABC，設I是線段BC的中點，AI為中線，則有如下關係：

AB²+AC²=2(BI²+AI²)

或作AB²+AC²=1/2（BC）²+2AI²

角平分線定義編輯

從一個角的頂點引出的把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的角平分線。

三角形的一個角（內角）的角平分線交其對邊的點所連成的線段，叫做這個三角形的一條角平分線。

角平分線定理角平分線定理

角平分線定理定理1

角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。

逆定理：在角的內部到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上

角平分線定理定理2

三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。逆定理：如果三角形一邊上的某個點與這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應成比例，那麼該點與對角頂點的連線是三角形的一條角平分線。

角平分線定理三角形的角平分線長

由定理2和斯臺沃特定理可以推導出三角形內的角平分線長公式。

在△ABC中，AD平分∠BAC

可設AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，則BC=u+v

由定理2我們知道 AB:AC=BD:CD，所以xv=uy

由斯臺沃特定理，有=(x²v+y²u)/(u+v)-uv

用u=xv/y,v=uy/x替換原式中的u和v

即得AD²=xy-uv=AB×AC-BD×DC

三角形的高

從三角形一個頂點向它的對邊作一條垂線，三角形頂點和垂足之間的線段稱三角形這條邊上的高。

總的來說，三角形的三條高所在的直線相交於一點。

銳角三角形：三條高都在三角形的內部。交點也在三角形的內部。