中學數學課學習的數列知識，需要我們牢記好多公式。
常用有這麼多數列，如果規律不明顯，前n項和公式記起來就麻煩了，怎麼樣才能輕鬆記牢呢？
彆著急，我找到規律，大家一起看看吧
工具/原料
1+ 2+ 3+ 4 +……+ n = n(n+1)/2
2+ 4+ 6+ 8 +……+ 2n = n(n+1)
1+ 3+ 5+ 7 +……+ 2n-1 = n"
等差數列，規律明顯，我們都用不著記
1+ 4+ 9+ 16 +……+ n"
1"+ 3"+ 5"+ 7" +……+ (2n-1)"
1+ 8+ 27+ 64 +……+ n^3
1 + 27 + 125 +……+ (2n-1)^3
數列通項有二次方、完全平方式，還有三次方，前n項和公式記得方便嗎？
1+ 3+ 6+ 10 +……+ n(n+1)/2
1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 +……+ n(n+1)
1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 + 4X5X6 +……+ n(n+1)(n+2)
數列通項是連續數字的乘積，前n項和又是什麼呢？
1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 +……+ 1/n(n+1)
1/6+ 1/24 + 1/60 + 1/120 +……+ 1/n(n+1)(n+2)
數列通項變成連續數字乘積的倒數，找規律算前n項和，是不是更困難了呢？
找規律，先從等差數列看起
為什麼自然數列 1、2、3、4……通項為 n，前n項和就是 n(n+1)/2 呢？
找規律，讓我們拋開等差數列，換個思路看看
1 = 1 X (1+1) / 2 = 1 X 2 / 2
1+ 2 = 3 = 2 X (2+1) / 2 = 2 X 3 / 2
1+ 2+ 3 = 6 = 3 X (3+1) / 2 = 3 X 4 / 2
1+ 2+ 3+ 4 = 10 = 4 X (4+1) / 2 = 4 X 5 / 2
看到 1X2 /2、2X3 /2、3X4 /2、4X5 /2，你有沒有得到啟發呢？
我就覺得，這個 n(n+1)/2，並非梯形面積 (a+b) h / 2 那樣，最大項加最小項的和，乘以項數以後，去掉重複除以2；
這個 n(n+1)/2，或許正是為了變成連續數字的乘積。
讓我們取自然數列的前三項，看看吧
1+ 2+ 3
= 2 X (1+2+3) / 2
= [ 1X2 + 2X2 + 3X2 ] / 2
= [ 1X2 + 2X(3-1) + 3X(4-2) ] / 2
= [ 1X2 -1X2 +2X3 -2X3 +3X4 ] / 2
= 3 X 4 / 2
= 3 X (3+1) / 2
這個自然數列，第一項是 1 ，變成連續數字的乘積就是 1X2 ，計算前 n 項的和，就要把整個數列乘以 2 和倒數 1/2 ，確保和不變；然後就可以把 2 變成不同兩個數字的差，各個數項與它們相乘之後，變成一組組連續數字的乘積，前面各項相互抵消，最後就只剩下最大項變的 n(n+1)/2
是這樣嗎？通項是連續兩個數字乘積的數列，也取前三項試試看
1X2 + 2X3 + 3X4
= 3 X ( 1X2 + 2X3 + 3X4 ) / 3
= [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) ] / 3
= [ 1X2X3 - 1X2X3 + 2X3X4 - 2X3X4 + 3X4X5 ] / 3
= 3 X 4 X 5 / 3
= 3 X (3+1) X (3+2) / 3
沒錯，這個數列 2、6、12、20……通項 n(n+1)，第一項是 1X2，計算前n項和就要變成 1X2X3，整個數列就要乘以 3 和 1/3，各個數項乘以 3 之後，就變成一組組相互抵消的連續數字乘積，最後只剩下最大項變的 n(n+1)(n+2)/3
顯然，換成數列 1、3、6、10……通項為 n(n+1)/2，前n項和就是 n(n+1)(n+2)/6
接下來，我們繼續看看，通項是連續三個數字乘積的數列
1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5
= [ 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 3X4X5X(6-2) ] / 4
= [ 1X2X3X4 - 1X2X3X4 + 2X3X4X5 - 2X3X4X5 + 3X4X5X6 ] / 4
= 3 X 4 X 5 X 6 / 4
= 3 X (3+1) X (3+2) X (3+3) / 4
同理，這個數列的通項是 n(n+1)(n+2)，前n項和就是 n(n+1)(n+2)(n+3)/4
看到這裡，這個規律我們就更清楚了。
數列 1、2、3、4……通項是 n，前n項和就是 n(n+1)/2；
數列 2、6、12、20……通項是 n(n+1)，前n項和就是 n(n+1)(n+2)/3
數列 6、24、60、120……通項是 n(n+1)(n+2)，前n項和就是 n(n+1)(n+2)(n+3)/4
還有通項是連續數字乘積倒數的數列，肯定也是大同小異吧
1/(1X2) + 1/(2X3) + 1/(3X4)
= (2-1)/(1X2) + (3-2)/(2X3) + (4-3)/(3X4)
= 1 -1/2 + 1/2 -1/3 + 1/3 -1/4
= 1 -1/4
= 3/4
連續三個數字乘積的倒數
1/(1X2X3) + 1/(2X3X4) + 1/(3X4X5)
= (1/2) X [ (3-1)/(1X2X3) + (4-2)/(2X3X4) + (5-3)/(3X4X5) ]
= (1/2) X [ 1/(1X2) -1/(2X3) + 1/(2X3) -1/(3X4) + 1/(3X4) -1/(4X5) ]
= (1/2)[ 1/(1X2) -1/(4X5) ]
哦！難怪如此
數列 1/2、1/6、1/12 ……通項是 1/n(n+1)，
前n項和就是 n/(n+1)；
數列 1/6、1/24、1/60 ……通項是 1/n(n+1)(n+2)，
前n項和就是 (1/2)[ 1/(1X2) - 1/(n+1)(n+2) ]
發現規律，我們就自己推導前n項和公式
自然數二次方，1、4、9、16、25……通項是 n" 這個數列
顯然，1X2= 1"+1，2X3= 2"+2，n(n+1)= n"+n，我們就正好用那兩個數列前n項和的公式相減，算出這個通項為 n" 的數列前n項和
n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2
= n(n+1)[2(n+2)/6 - 3/6]
= n(n+1)[2n+4-3]/6
= n(n+1)(2n+1)/6
數列的通項是 n"，前n項和就是 n(n+1)(2n+1)/6
奇數的二次方 1、9、25、49、81……通項是 (2n-1)" 這個數列
還是先取前三項看看
1X1 + 3X3 + 5X5
= 1 + 3X(1+2) + 5X(2+3)
= [ 1X2 + 3X(2+4) + 5X(4+6) ] / 2
= [ 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 + 5X6 ] / 2
= 5 X 6 X 7 / 6
這樣就再次看到了，連續數字乘積的形式
= 2n (2n - 1) (2n + 1) / 6
= n (4n" - 1) / 3
數列的通項是 (2n-1)"，前n項和就是 2n(2n+1)(2n-1)/6 = n(4n"-1)/3
看到了嗎？通項是二次方的數列，前n項和的式子中都有因式 n(2n+1)，記住他們這個共同特徵，數列前n項和的公式，我們就不會記錯了。
自然數三次方 1、8、27、64、125……通項是 n^3 這個數列
我們也用連續數字的乘積來試試，
要知道，一個數的三次方，變成連續數字的乘積就更方便了，看吧
5 X 5 X 5
= 5X( 5" - 1" + 1)
= 5X(5 - 1)(5 + 1) + 5 X 1
= 4X5X6 + 5
數列我們就取前四項看看吧
1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4
= 1+ 2+ 3+ 4+ 1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5
= 4X5 /2 + [ 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 3X4X5X(6-2) ] / 4
= 4X5X2 /4 + 3X4X5X6 /4
= 4X5 X ( 2 + 3X6 ) / 4
= 4X5 X ( 2 + 2X9 ) / 4
= 4X5 X (2X10) / 4
= (4X5/2)"
= [ 4 X ( 4 + 1 ) / 2 ]"
數列的通項是 n^3，前n項和就是 [n(n+1)/2]"
其實
1 + 8 + 27 + 64 + 125
= 9 + 27 + 64 + 125
= 36 + 64 + 125
= 100 + 125
= 225
這個數列只要把前幾項像這樣耐心地加一遍，我們就會發現，1、9、36、100、225這幾個前n項的和，也正好是 1、3、6、10、15……n(n+1)/2 的二次方。
奇數的三次方 1、27、125……通項是 (2n-1)^3 這個數列
我們還是變成連續數字的乘積，取前四項看看
1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7
= 1+ 3+ 5+ 7 + 2X3X4 + 4X5X6 + 6X7X8
= 4X4 + 2X1X3X2X2 + 2X2X5X3X2 + 2X3X7X4X2
= 4X4 + 4X1X2X3 + 4X2X3X5 + 4X3X4X(5+2)
= 4X4 + 1X2X3X4 + 2X3X4X5 + 2X3X4X4 + 3X4X5X4
= 4X4 + 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 2X3X4X5 + 3X4X5X(6-2)
= 4X4 + 2X3X4X5 + 3X4X5X6
= 4X4 + 3X4X5X8
= n" + [ 2n (n-1) n (n+1) ]
= n" + [ 2n"(n" - 1) ]
= n" + 2(n^4) - 2n"
= 2(n^4) - n"
= n"(2n" - 1)
數列的通項是 (2n-1)^3，前n項和就是 n"(2n"-1)
總結經驗，學會學習
經過一番探索，這些數列的前n項和公式，我們都自己推導出來，找出規律了，印象一定也加深了不少。假如我們今後一時想不起公式，就可以根據這個規律，自己重新把公式推導出來。如今我們也得到了思路，知道公式是怎麼得來的，這樣也再不會記錯了。
通項是連續數字乘積的數列，前n項和都是把最後一項變形，繼續乘以下一個數字，最後一項總共變成多少數字相乘，最終就要除以多少。
正如 1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 +……+ n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3)/4，數列通項是 n(n+1)(n+2)，前n項和就把通項乘以(n+3)，然後除以4
利用連續數字的乘積，變形得到數列通項的最高次項，然後把多項式變得等於原來的通項式，就可以利用已知的數列公式，組合算出這個數列的前n項和公式了。
這種通項是連續數字乘積的數列，幫助我們把這些冪函數的數列公式都記住了。我們學習知識就要多多開動腦筋，積極探索，總結經驗，把一個個知識點掛鉤串聯起來，得到一條思路，這樣才學得牢固。
一個個知識點也正如一個個果實，肯定要“順藤摸瓜”才回憶得方便輕鬆；假如一個個知識點在腦子裡面“一盤散沙”，我們需要時找不到，想不起來，這樣和不知道又有什麼差別呢？